בפוסט הקודם סיפרנו לכם מה היא בעיה אי-כריעה, והתחלנו לספר על קשר מפתיע של המושג הזה לפיזיקה, קשר שהתגלה בשנת 2015 על ידי טובי קיוביט ושותפים, אשר הוכיחו שבעיה בשם "בעיית הפער הספקטרלי" אינה כריעה. היום נתאר את בעיית הפער הספקטרלי, ונדון בקצרה על העבודה של קיוביט וההשלכות שלה.

כמו שהכותרת מרמזת, בעיית הפער הספקטרלי היא בעיה ייחודית לתורת הקוונטים, ובפרט, כזו שבאה לידי ביטוי רק כשלוקחים תופעות קוונטיות בחשבון. כשאנחנו מסתכלים על מערכת פיזיקלית כלשהי, כמו מטוטלת, אנחנו יכולים לחשב כמה אנרגיה יש לה. לא צריך להבין בדיוק מה המושג הזה, אנרגיה, אומר, כדי להשלים עם הרעיון שככל שהמטוטלת זזה יותר מהר, או מגיעה יותר גבוה, אז יש לה יותר אנרגיה. במערכות הפיזיקליות שאנחנו רואים בחיי היום יום, אנרגיה היא דבר רציף. אם המטוטלת שלי יכולה לנוע במהירות מסויימת, או במהירות אחרת, אז היא יכולה לנוע בכל מהירות שביניהם, אם אני אדחוף אותה בעוצמה הנכונה. תורת הקוונטים החלה מההבנה שבעולם התת אטומי זה כבר לא נכון.

לכן, בהינתן מערכת פיזיקלית, אפשר לשאול את עצמנו עד כמה גדול הפער בין רמת האנרגיה הנמוכה ביותר לרמת האנרגיה הבאה בתור. כלומר, אם המערכת נמצאת באנרגיה הכי נמוכה האפשרית, כמה אנרגיה צריך להכניס לתוכה כדי שהיא תעבור למצב אחר. אוסף האנרגיות שמערכת נתונה יכולה להיות בהם נקרא ה"ספקטרום" שלה, והפער בין שתי רמות האנרגיה הנמוכות ביותר נקרא הפער הספקטרלי של המערכת.

בדרך כלל, אנחנו לא מעוניינים במערכת ספציפית אלא במשפחה הולכת וגדלה של מערכות. למשל, אם נרצה להבין תכונות של חומר מסוים, נסתכל קודם על מערכת המתארת מולקולה אחת של החומר, לאחר מכן על מערכת המתארת שתי מולקולות וכו' וכו', ונשאל את עצמנו מה קורה למערכת, ובפרט לפער הספקטרלי שלה, כאשר מספר המולקולות הולך לאינסוף. רוב המערכות המציאותית מורכבות מכמות עצומה של מולקולות, ולכן הגבול האינסופי הזה יתאר את ההתנהגות שלהן בדיוק רב.

בהנתן משפחה הולכת וגדלה של מערכות פיזיקליות, בעיית הפער הספקטרלי היא לקבוע אם הפער הספקטרלי הולך ודועך לאפס ככל שמערכת גדלה, או שמא ההפרדה בין רמות האנרגיה נשמרת בלי קשר לגודל של המערכת. בשביל להבין את החשיבות של הבעיה הזאת, נבחן דוגמה קונקרטית.

בהינתן חומר מסויים, נוכל לשאול מה יקרה אם ניצור ממנו כבל באורך ננומטר אחד, שני ננומטרים, שלושה ננומטרים וכו' ואז לתהות מה קורה כאשר האורך הולך לאינסוף. ברמת האנרגיה הכי נמוכה, אין תזוזה של אלקטרונים בכלל, וברמות גבוהות יותר יש. לכן, אם ניתן למערכת מספיק אנרגיה, נראה אלקטרונים זזים דרכה, כלומר, נראה זרם חשמלי [1]. בחומרים מסוימים נראה שככל שנסתכל על מערכת גדולה יותר, הפער הספקטרלי ילך ויצטמצם במהירות, ובפרט, בגדלים שרלוונטיים לנו הוא אפסי לחלוטין. אלו בדיוק החומרים שאנו קוראים להם מוליכים. מצד שני, בחומרים אחרים נראה שיש רק רמת אנרגיה אחת (או שהפער תמיד נשאר מאוד מאוד גדול), לחומרים כאלו אנחנו קוראים מבודדים. אבל יש חומרים שנמצאים באמצע הדרך בין מבודדים למוליכים. חומרים שההפרש בין רמות האנרגיה שלהם לא מאוד גדול, אבל גם לא מתאפס. כלומר, כאלו שמתנהגים כמו מבודדים, אבל אם נעמיס עליהם מספיק אנרגיה, הם יתחילו להוליך. כאלו שפער האנרגיה שלהם מספיק קטן כדי שיהיה אפשר לשים בקלות את המערכת בין שני המצבים, אבל מספיק גדול כדי שנוכל להיות תמיד בטוחים באיזה מהמצבים אנחנו. חומרים כאלו נקראים מוליכים למחצה [2], והם הבסיס לנתח עצום מהטכנולוגיה המודרנית. בפרט, היכולת שלנו להבחין היטב בין שני המצבים מאפשרת לנו להקצות להם את הערכים אפס ואחד, ולהשתמש בהם בתור הבסיס לחישוב דיגיטלי. המוליך למחצה הידוע ביותר הוא הסיליקון, על שמו קרוי עמק הסיליקון.

אז איך קיוביט הוכיח את אי הכריעות של בעיית הפער הספקטרלי? התשובה מאוד מסובכת, אפילו בהשוואה למאמרים אחרים בתחום. בתמונה הגדולה, קיוביט הסתכל על מערכות מצורה מאוד ספציפית. כאלו שמורכבות מחלקיקים שמסודרים בצורת ריבוע, כך שכל חלקיק מושפע רק מהחלקיקים הכי קרובים אליו. הוא הראה איך אפשר, במובן מסוים, להמיר כל תוכנת מחשב וקלט למערכת פיזיקלית מהצורה הזאת, כך שלמערכת יש פער ספקטרלי אם ורק אם התוכנה תעצור! כך, למעשה, הראה שאם אפשר לפתור את בעיית הפער הספקטרלי, אז אפשר גם לפתור את בעיית העצירה. אולם, כפי שציינו בפוסט הקודם, בעיית העצירה אינה כריעה, ומכך נובע שגם בעיית הפער הספקטרלי אינה כריעה!

בשלב זה ברור לנו מה החשיבות של בעיית הפער הספקטרלי, אבל מה החשיבות של אי הכריעות שלה? האם עצם קיום בעיה כזו אומר שמדעי הטבע במשבר? שהמאבק להבין את היקום הוא חסר טעם? או אולי שמצאנו פגם מהותי בתיאוריות הנוכחיות שדורש מאתנו לזרוק אותן לפח ולמצוא בסיס חדש לתיאור הטבע? ובכן, לא ממש. הדבר הראשון שחשוב להבין לגבי התוצאה הזאת הוא שהיא אסימפטוטית, כלומר, מתארת את הקושי של הבעיה עבור מערכות הולכות וגדלות. זה שלא קיים אלגוריתם שפותר את בעיית הפער הספקטרלי עבור מערכת בכל גודל אפשרי, עדיין לא אומר שבלתי אפשרי לפתור אותה עבור כל מערכת ספציפית. הדבר השני שחשוב להבין הוא שמדובר על בעיה מאוד מאוד כללית. רוב הבעיות המעניינות את הפיזיקאים, גם אלו החישוביות, הן מקרים פרטיים שלה, ויש מעט מאוד דוגמאות למקרים פרטיים שפיזיקאים מעוניינים לחשב באופן ישיר, אך שעדיין לא ידוע אם הם כריעים או לא. הדוגמה המפורסמת ביותר היא בעיית יאנג-מילס [3].

אם היינו מגלים שהתיאור שלנו של הטבע הופך בעיות מאוד קונקרטיות לבלתי כריעות, אולי היתה סיבה לדאגה. אבל עצם הקיום של בעיות לא כריעות? יש הטוענים שזה לא עניין דרמטי. כבר בשנות השלושים קורט גדל הוכיח שהמתמטיקה תמיד תכיל בעיות לא כריעות, ואנחנו עדיין עושים מתמטיקה. אין סיבה שבפיזיקה זה יהיה אחרת.

קישורים ומקורות:

[1] בעיית הפער הספקטרלי במוליכים

[2] מוליכים למחצה

[3] בעיית יאנג-מילס