קבוצת מנדלברוט
30/10/2019
פרקטלים הם "יצורים" מוזרים שניתן לעיתים לראותם אבל קשה לתפוס מה בדיוק רואים, בייחוד כשמתקרבים אליהם עוד ועוד. הפרקטל שבתמונה ("קבוצת מנדלברוט" [1]) הוא מורכב מאוד, אבל ניתן להצגה באמצעות משוואה די פשוטה.
פרקטל הוא מושג שבא לתאר את צורתם של עצמים מתמטיים ותופעות המתרחשות בטבע, ואשר יש להם חזרה עצמית כלשהי. למשל, ראש כרובית, מורכב מכמה "עצים" קטנים יותר שנראים בעצמם כמו כרובית. הכרובית אינה עגולה, או מרובעת, אבל כולנו יכולים להעיד שיש דבר כזה, "צורה של כרובית". צורה מסוג כזה נקראת צורה פרקטלית, כאשר המילה פרקטל באה מהמילה שבר (fraction), על שם השברים שיש בחשבון, והיא קשורה לסוג החזרה של הצורה על עצמה, או מה שנקרא דמיון עצמי.
באמצעות המתמטיקה נוכל ליצור תמונות של פרקטלים בעלי גיאומטריות יפות, כמו שרואים לפעמים בירחוני מתמטיקה ובסרטוני וידאו. לעיתים ניתן לעשות זאת באמצעות משוואה מתמטית פשוטה יחסית, כזאת שנוכל למשל לקודד בכמה שורות מאקרו באקסל. מי שגילה זאת בשבילנו היה המתמטיקאי היהודי צרפתי-אמריקאי בנואה מנדלברוט, חוקר הפרקטלים הנודע, שגילה בשנת 1980 צורה פרקטלית מרשימה כזאת שנקראת על שמו.
לפני שנמשיך, נספר על סדרות במתמטיקה. דרך אחת לתאר סדרה היא באמצעות משוואת נסיגה (רקורסיה). לדוגמה: "נגדיר את האיבר הבא בסדרה כריבוע של האיבר הנוכחי בתוספת קבוע שנקרא לו C, כאשר האיבר הראשון הוא 0". אם נציב ערכי C שונים, נקבל סדרות מגוונות. למשל עבור C=1 נקבל (...26, 5 ,2 ,1, 0 ) שהיא סדרה שהולכת וגדלה כל הזמן ונקראת לפיכך "מתבדרת". אם נציב C=-1 נקבל (...0, 1-,0, 1-,0) שהיא סדרה חסומה (כל הערכים שלה תחומים בין 0 ל 1-) ולכן אינה מתבדרת.
מנדלברוט חקר סדרה עם משוואה דומה שבה איברי הסדרה היו מספרים מרוכבים. להסביר כאן למי שלא למד על מספר מרוכב זה די מורכב. במקום זאת, אפשר לתאר אותה בצורת סדרה דו ממדית, שבה איברי הסדרה הם נקודות במישור ((X(n), Y(n)) ומשוואת הנסיגה:
X(n+1)= X(n)^2 -Y(n)^2 + C1 ; Y(n+1)= 2*X(n)* Y(n) + C2
X(1)=Y(1)=0
באמצעות הצבת ערכים שונים לקבועים (C1, C2) נקבל סדרות שונות של נקודות. למשל, עבור C2=0 נקבל את הדוגמה הקודמת. עבור קבועים מסוימים, מרחק הנקודות מהראשית ילך ויגדל ("הסדרה תתבדר"), ועבור ערכים אחרים הסדרה תישאר חסומה (המרחק מהראשית יהיה קטן למשל מ- 2). מנדלברוט החליט לבדוק באמצעות מחשב את ערכי הקבועים (C1, C2) בהם הסדרה מתכנסת ולצייר אותם על מערכת צירים.
המתמטיקה הכינה לו הפתעה מרהיבה: הציור שנוצר נראה שונה לגמרי מכל ציור מוכר במתמטיקה. הוא נראה כמו משהו מיסטי, מעולם אחר! התמונה המצורפת היא התיאור הגיאומטרי של "קבוצת מנדלברוט". הפיקסלים הצבועים בשחור מייצגים את ערכי הקבועים שבהם אין התבדרות (למשל: בראשית הצירים). הפיקסלים הכחולים מייצגים את הערכים בהם תהייה התבדרות מהירה, הערכים הצבועים בצבעים בהירים מייצגים ערכי הקבועים שבהם תהייה התבדרות, אבל רק אחרי הרבה סבבים.
אכן, נוצרות כאן צורות משונות למדי. אולם, החלק המרשים הוא ההסתכלות על פיקסלים באזורי הגבול שבהם הצבעים משתנים. מתברר שהצביעה שלהם היא רק אחיזת עיניים. אם נעשה זום נגלה כל פעם שבמקום פיקסל צבוע יפתח בפנינו חלון לצורות חדשות, שלעיתים דומות לצורה המקורית. נוכל להמשיך ולעשות עליהם זום נוסף ולהמשיך עוד ועוד. תוכלו לראות הדגמה של זום בסרטון [2] . אין אף רגע משעמם!
מהנדס מחשבים, חוקר ויזם בתחום החינוך המתמטי.
