מתמטיקאי פולני פיתח דרך לכתוב תרגילי חשבון ללא צורך בכללי סדר פעולות וסוגריים, וללא דו משמעות.

הרשת געשה ורעשה על "(2+2)2÷8" שאפשר לקרוא בשתי דרכים המתארות שני תרגילים שונים שתוצאת האחד היא 16 ותוצאת השני היא 1 [1]. לא עזרו ההסברים הרבים על כך שהאופן שבו מפרשים את התרגיל תלוי בקונבנציות; רבים מהמגיבים דרשו קביעה אולטימטיבית וחד משמעית איך לקרוא את התרגיל האומלל הזה, כי אחרת כל המתמטיקה תקרוס והיקום ייחרב.

אז בואו נדבר על שיטת סימון שנקראת "כתיב פולני" ואכן פותרת את הבעיות הללו לחלוטין. הרעיון בשיטת הסימון הזו עבור תרגילים חשבוניים הוא לכתוב את הסימן של הפעולה לפני האיברים שעליהם היא פועלת (יש גם שיטה דומה בשם "כתיב פולני הפוך" שבו סימן הפעולה בא אחרי האיברים ולא לפניהם). כדי להבין את זה, בואו נסתכל בתרגיל בשיטת הכתיב הרגילה שלנו: 1+2. כאן המספרים 1 ו-2 נקראים "האופרנדים", האובייקטים שמפעילים עליהם פעולה כלשהי; הפעולה עצמה מסומנת בסימן + ומתארת את פעולת החיבור והיא נקראת "האופרטור" - מה שפועל על האופרנדים.

כשיש לאופרטור שני אופרנדים (וזה המקרה עבור רוב האופרטורים שאנחנו מכירים) אנחנו רגילים לכתוב את האופרטור בין שני האופרנדים. ככה לומדים מכיתה א'. אלא שכאשר כותבים ביטויים מורכבים שכוללים מספר אופרטורים, מייד צצות בעיות בגלל שיש כמה דרכים שונות לקרוא אותם. הבה ונתבונן בביטוי 2*5+3 (כוכבית כאן מתארת כפל כי שימוש ב-x מבלבל את פייסבוק עד מאוד). מיהם האופרנדים של פעולת החיבור? האם הם 5 ו-3, או שמא הם 5 ו-2*3? התשובה השניה היא הנכונה (והביטוי שווה 11); זה נקבע על פי "כללי קדימויות" שגם אותם לומדים בבית הספר היסודי. כפל וחילוק באים לפני חיבור וחיסור.

מה קורה אם יש לשני אופרטורים אותה קדימות, למשל במקרה של חיבור וחיסור? למשל, מהו ערכו של הביטוי 5-3+2? האם האופרנדים של החיסור הם 5 ו-3 או שמא הם 5 ו-3+2? התשובה במקרה הזה היא שהאופרנדים הם 5 ו-3, כי כאשר יש לנו שני אופרטורים בעלי אותה קדימות, אנחנו מבצעים קודם את השמאלי יותר (זה מכונה "אסוציאטיביות שמאלית").

כדי לתת יותר גמישות בכתיבת ביטויים חשבוניים אפשר להשתמש גם בסוגריים, שמקבלים קדימות גבוהה יותר מכל היתר (אפשר לחשוב על כללי הקדימות והאסוציאטיביות בתור  "סוגריים בלי סוגריים", כלומר כללים לאילו פעולות באות לפני אחרותי). אבל אפשר גם לשאול למה לטרוח עם כל הדברים הללו - סוגריים, קדימויות, אסוציאטיביות - אם אפשר להשתמש בשיטת סימון חלופית שבה כולם מיותרים?

זה כנראה היה מה שחשב המתמטיקאי הפולני יאן לוקשביץ' כשהציע את השיטה שלו, שנקראת "כתיב פולני" בימינו. בשיטה הזו, במקום לכתוב 1+2 נכתוב 2 1 +. כלומר, ראשית כל (בקריאה משמאל לימין) נכתוב את האופרטור, ואחר כך את האופרנדים שלו.

בואו נראה דוגמא מורכבת יותר כדי להיווכח בכוחה של השיטה הזו: הביטוי 2*5+3 נכתב בכתיב פולני כך: 2 3 * 5 +. כיצד לקרוא את זה? הקוראת המיומנת תתחיל משמאל לימין, תראה את האופרטור + ותשמח לעצמה "עכשיו יבואו שני אופרנדים!" התו הבא הוא 5, והקוראת אומרת לעצמה "יפה, הנה אופרנד אחד מבין השניים שציפיתי להם!" ואז תעבור לתו הבא, שהוא *. כאן תגיד לעצמה הקוראת "אה-הא! האופרנד הבא איננו מספר אלא בעצמו תוצאה של הפעלת תרגיל כפל שכרגע מתחיל!". ותעבור לקרוא את שני האופרנדים הבאים, 3 ו-2, תתייחס אליהם בתור האופרנדים של תרגיל הכפל, ולתוצאה של הכפל הזה תתייחס בתור האופרנד של תרגיל החיבור.

ומה עם (2+2)2÷8 המושמץ? הנה שתי דרכי הכתיבה שלו בצורה פולנית חד משמעית. ראשית, הכתיבה שבה מקבלים 16 ומתאימה לכך שפעולת החילוק מקבלת קדימות:

2 2 + 2 8 ÷ *

כלומר: "כפל שבו האופרנדים הם א) תוצאת החלוקה של 8 ב-2 ו-ב) תוצאת החיבור של 2 עם 2".

וכעת לכתיבה שבה מקבלים 1 ומתאימה לכך שפעולת הכפל מקבלת קדימות:

2 2 + 2 * 8 ÷

כלומר "חילוק שבו האופרנדים הם א) 8 ו-ב) תוצאת הכפל של 2 עם תוצאת החיבור של 2 עם 2".

אם התרגיל היה נכתב באחת מהשיטות הללו, לא היה מקום לדיבור על קונבנציות שונות ומחשבונים שעושים דברים לא תואמים או שום דבר דומה. אבל האם התרגיל היה קריא יותר כך? האם היינו יכולים להתרגל לשיטת הכתיבה הזו? שאלות טובות ללא תשובה. כיום אין שימוש בשיטת הסימון הפולנית למעט בתכנות; האופן המקובל לסמן פונקציות בקוד מחשב הוא על ידי כתיבת שם הפונקציה ואחריה את רשימת האופרנדים שלה. עם זאת, אפילו בתכנות עדיין ממשיכים להשתמש בשיטת סימון רגילה עבור אופרטורים כמו חיבור וכפל - כי בסופו של דבר, מטרת הסימון היא לשרת אותנו, בני האדם העצלנים שרגילים לשיטה אחת על כל חסרונותיה ושום דבר לא יזיז אותנו ממנה (תזכירו לי לספר לכם יום אחד על קרב האימתנים שבין ספירה על בסיס 10 לבין ספירה בבסיס 12).

מקורות וקריאה נוספת:

פוסט שלנו על התרגיל המקורי

עוד על ביטוי פולני