נניח שקצב הכניסה הממוצע של לקוחות לסופר השכונתי שלכם ידוע, והלקוחות מגיעים בדרך כלל בגפם בזמנים אקראיים ובלי תלות באחרים. ממידע מינימלי זה ניתן לבנות מודל מתמטי באמצעות התפלגות פואסון, אחד הפיתוחים המבריקים, המפתיעים והשימושיים ביותר במתמטיקה.

באמצעות התפלגות פואסון [1], ועל ידי מספר קטן של הנחות על נתונים ניתן להסיק הרבה מסקנות ולקבל תוצאות המתאימות במקרים רבים למצבים אמיתיים. למשל, נניח שגילינו שבסופר השכונתי הלקוחות מגיעים בקצב ממוצע של לקוח לדקה, והלקוחות נכנסים בגפם בזמן אקראי ללא תלות בלקוחות אחרים. באמצעות נתונים אלו, ניתן להסיק למשל שההסתברות שבדקה כלשהי לא יגיע אף לקוח היא כ- 36.8%. כיצד ניתן להגיע למסקנה מרחיקת לכת זו? נראה זאת דרך סיפור דמיוני.

נדמיין שאנו עומדים מול שער הסופר ומסתכלים על הנעשה בו. דרך מקובלת על מהנדסים ומתמטיקאים לנתח מערכת היא לבנות מודל סימולציה במחשב שמנסה לתאר אותה, ולהזין אותו בנתונים של לקוחות המגיעים בזמנים אקראיים. על ידי כך, ניתן לענות על שאלות כמו השאלה ששאלנו: מה ההסתברות שבדקה כלשהי לא יגיע אף לקוח. אולם אנחנו מתעצלים. במקום זה, צץ במוחינו רעיון מבריק: הבה נבקש מהשומר בשער הסופר להכניס לקוחות בזמנים שונים כרצונינו. בדרך זו נוכל לבדוק האם באמת נזכה לקבל בקירוב את התשובה  36.8% כפי שהצהרנו בפתיחה.
כיצד? נסביר בהמשך.

כיוון שידוע שקצב הכניסה הממוצע לאורך זמן הוא לקוח לדקה, השיטה הפשוטה למדל זאת היא לבקש מהשומר לסגור את השער, ואז לפתוח אותו רגעית כל דקה עגולה ולהכניס לקוח אחד. אכן, קצב ההגעה יהיה בדיוק לקוח לדקה. אולם המודל רחוק מהמציאות, שכן הוא לא מכסה מקרים בהם למשל יותר מלקוח אחד מבקש להכנס בדקה נתונה, וגם לא מכסה את האפשרות לכניסת לקוח בזמן שהוא לא דקה עגולה. כדי לשפר את המידול, נחצה כל דקה לשניים, וכל חצי דקה נבקש מהשומר להגריל מספר מזל בהסתברות חצי (למשל על ידי הטלת מטבע). אם השומר יצליח בהגרלה, הוא יפתח את השער רגעית ויכניס לקוח אחד. על ידי כך, קצב הכניסה הממוצע יהיה כמו קודם (לקוח לדקה), אבל יהיה גם סיכוי לכניסת שני לקוחות, כמו גם לאפס לקוחות בדקה. הסיטואציה שבה אף לקוח לא נכנס בדקה נתונה מתרחשת כאשר שתי ההגרלות נכשלות, וההסתברות  לכך: 25% = 2^0.5.

הסיטואציה עדיין לא נראית מספיק קרובה למציאות. לפיכך, נבקש מהשומר המסכן לנחש כל שנייה מספר שאנחנו נבחר בתחום מ-1 עד 60. בכל שניה שבה יצליח בניחוש (בהסתברות 1/60), הוא יפתח את השער וידאג לדחוף לקוח אחד פנימה. בדרך זו נכסה הרבה מצבים אפשריים: הממוצע יהיה עדיין לקוח לדקה, אבל יהיה סיכוי מסוים שאפילו 60 לקוחות יגיעו בדקה מסוימת, ותהייה אפשרות לכניסת לקוח כל שנייה. המצב שבו אף לקוח לא יכנס לסופר בדקה מסוימת יקרה רק כאשר כל אחת מ-60 ההגרלות שבהם השומר בוחר מספר מ-1 עד 60 תיכשל, וההסתברות לכך היא % 36.5= 60 ^ (1-1/60). (הסבר: במצב כישלון בוצעו 60 הגרלות בלתי תלויות שבכל אחת מהן נבחר מספר שאיננו מספר המזל. עקב אי תלות המאורעות, ההסתברות הכללית היא מכפלת 60 ההסתברויות) אכן, אנו מתקרבים לתשובה הנכספת 36.8% .

באופן דומה ניתן להמשיך ולשפר את הניסוי שלנו על ידי חלוקות נוספות. השומר כנראה יתעצבן כהוגן, אבל אנחנו נרווה נחת מהדיוק. בדומה לדוגמה שהבאנו למעלה, אם נחלק את הדקה ל-N חלקים, ההסתברות P שבדקה נתונה השומר לא יצליח באף אחד מ-N הניסיונות שלו לנחש את המספר שבחרנו בתחום מ-1 עד N , ולכן אף לקוח לא יוכל להיכנס בדקה זו היא: P = (1-1/N)^N. אם נציב ערכי N גדולים, נראה שערך הביטוי מתקרב ל- 36.8%, (מי שלמד חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי אולי יזכר שעבור N גדול, ערך הביטוי מתקרב לאחד חלקי e, כאשר e הוא קבוע אוילר המפורסם).

באופן כללי, עבור N גדול התפלגות ההסתברות שלנו תתקרב להתפלגות פואסונית [1] שבאמצעותה נוכל לחשב את ההסתברות שמספר כלשהו של לקוחות (0 כמו בדוגמה שהראינו או יותר לקוחות) יגיעו בדקה.

התפלגות פואסון היא אחת ההתפלגויות החשובות והשימושיות במדע ובהנדסה. היא משמשת למשל בתורת התורים, וניתן להשתמש בה כדי להעריך כמה קופאיות כדאי להעסיק בסופר. ההתפלגות נקראת על שמו של המתמטיקאי הצרפתי הצרפתי סימאון דני פואסון, אולם מי שפירסם אותה ברבים היה הכלכלן הגרמני לדיסלב פון בורטקייביץ', שמצא דוגמאות רבות בהן היא מתקיימת בעולם האמיתי. דוגמה מפורסמת וביזארית היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים הפרוסי שנהרגו בשנה מבעיטת סוס. נראה שהסוסים הללו בעטו בזמנים אקראיים בלי תלות בסוסים אחרים, ובכך התאימו למודל של התפלגות פואסונית. הרבה דוגמאות של התפלגות פואסונית קשורות לזמן (למשל: מספר האטומים שמתפרקים בפרק זמן נתון בחומר רדיואקטיבי) אולם יש דוגמאות אחרות, כמו למשל התפלגות מספר עצי האלון ביחידת שטח של יער.

שימוש מעניין אחר להתפלגות פואסון הוא לצורך בדיקה האם תוצאות של תצפיות כלשהן הן מקריות או לא. דוגמא מפורסמת היא הבליץ הגרמני על לונדון במלחמת העולם השנייה תוך שימוש ברקטות V-1. הבריטים היו מעוניינים לדעת אם הפגיעה באזורים שונים בעיר הייתה מקרית או מכוונת. לשם כך, הם חילקו את מפת דרום לונדון ל-576 ריבועים ובדקו בכמה ריבועים פגעה רקטה אחת, בכמה פגעו שתי רקטות, וכולי. התברר שההתפלגות שהתקבלה הייתה דומה מאוד להתפלגות פואסונית. מכאן, הם הסיקו שהפגיעות של רקטות V-1 היו במקומות אקראיים, ולגרמנים לא היה מנגנון ניווט מתוחכם [2].

ההתפלגות הפואסונית היא דוגמא אלגנטית למידול מתמטי, והיא מופיעה בהרבה תחומים. אולם, לעיתים צורת ההנגשה בלימודי ההסתברות בצורת נוסחאות יבשות לא עושה עימה חסד. אם תדמו לעיתים את צהלות הסוסים הפרוסים, את שומר הסופר האומלל, ואת הרקטות המעופפות בשמי לונדון, זה יכול להוסיף קצת צבע ועניין לנושא.

מקורות וקריאה נוספת

[1] התפלגות פואסון

[2] הבליץ על לונדון