על המתמטיקה הפשוטה מאחורי הגנת חסינות העדר

בתקופה בה מחלת החצבת מככבת בכותרות, בטח שמעתם לא פעם על המונח "חיסוניות העדר" ועל כך שנדרש אחוז מתחסנים גבוה באוכלוסייה, או כיסוי חיסוני גבוה, כדי למנוע את התפשטותה [1].

בפשטות, כאשר רוב האוכלוסייה מחוסנת, הסיכון להעברת מחלה מידבקת בין אדם לאדם יורד. מהגנה זאת נהנים גם אנשים שאינם מחוסנים. תופעה זאת נקראת "חסינות העדר". אם חלק מספיק גדול מהאוכלוסייה יהיה מחוסן ויהיה מפוזר באופן שווה גיאוגרפית, נוכל לצפות לירידה באחוז החולים באוכלוסייה.

כיסוי חיסוני גבוה הינו הכרחי למיגור מחלות מדבקות, וכאשר מדובר בחצבת, מדובר בכיסוי החיסוני הרצוי הגבוה ביותר הקיים, וערכו משתנה בהתאם למיקום הגיאוגרפי ונע בטווח של 89%-95% [2].

אך כיצד הגיעו מומחים וארגוני בריאות שונים לאחוזי הכיסוי החיסוני הנדרש כדי למנוע מגפה? מטבע הדברים, רפואה בפרט וביולוגיה בכלל הן עניין מורכב שקשה לחזות במדויק, במיוחד כשמדברים על התפשטות מחלה. הדבר נובע, בין היתר, מכך שגורם המחלה עצמו עלול להיות דינמי, אופי האוכלוסייה לא קבוע ורגישות האנשים למחלה משתנה עם הזמן. למשל, נגיפי השפעת עוברים שינויים גנטיים תכופים, ותחלואה קודמת בשפעת אינה מגינה בהכרח מפני תחלואה עתידית. לכן מיוצרים חיסונים חדשים נגד שפעת כל שנה. על מנת להעריך באופן המיטבי את אופי התפשטות המחלה, משתמשים במודלים מתמטיים מפושטים, המתארים בקירוב את המציאות. כמובן שקיימים מודלים מורכבים יותר
:ומורכבים פחות. למען הפשטות אציג מודל בסיסי:

אחת מהדרכים הבסיסיות לחשב אחוז כיסוי חיסוני הנדרש לחסינות העדר, מתוך הנחה שיעילות החיסון גבוהה ביותר, היא המודל המתמטי הבא:[P = 1-1/R0 [3, כאשר P הוא יחס האוכלוסייה הנדרש להתחסן, ו-R0 הינו "מספר ההתרבות הבסיסי" (Basic Reproduction Number) – מספר האנשים שיידבקו מכל אדם נגוע במחלה, בהנחה שכל אותם אנשים מסוגלים להידבק. במילים אחרות, במחלה שבה R0=2, הכוונה היא שאם ניקח אדם חולה ונשים אותו בחדר עם אנשים אחרים, נצפה ששני אנשים יידבקו ממנו.
לדוגמה - במחלה נגיפית, בה ה- R0 הוא 2, יחס האוכלוסייה הנדרש להתחסן יהיה ½-P=1, כלומר ½ . נכפול ב -100 ונקבל ש - 50% מהאוכלוסייה צריכים להיות מחוסנים על מנת ליהנות מהגנת חסינות העדר.

למעשה, שימוש ב- R0 חיוני לא רק בחישוב סף הכיסוי החיסוני הנדרש לחסינות העדר, אלא מהווה גם גורם חשוב באפידמיולוגיה, ענף ברפואה העוסק בחקר מחלות ברמת האוכלוסייה, המסייע להעריך חומרת מחלות מידבקות כגון סארס, אבעבועות רוח, HIV ועוד. אם ערכו של R0 גדול מאחד, אז התפרצות המחלה עלולה להוביל למגיפה. בהינתן שערכו קטן מאחד, התפרצות המחלה עתידה להבלם. במקרה של R0=2, אדם חולה ידביק שני אנשים, שכעת גם הם יהפכו לנשאים היכולים להדביק 2 אנשים כל אחד. כך במהירות חולה אחד יהפוך לשלושה חולים, שיהפכו לתשעה חולים וכן הלאה. במקרה של R0<1, כל חולה מדביק פחות מאדם אחד, ולכן לא נצפה להתפשטות מהירה של המחלה.
ערכו של R0 מושפע מגורמים שונים, כדוגמת הסיכוי של אדם חולה להדביק אדם בריא, סוג המגע ותדירותו בין אנשים באוכלוסייה ומשך הזמן בו המחלה מידבקת [4].

למחלות שונות ערכי R0 שונים ולכן גם אחוזי כיסוי חיסוני שונים. למשל במחלת השפעת, ערכו של R0 עומד על 2-4 [5], ולפי הנוסחה הנ"ל אחוז הכיסוי החיסוני באוכלוסייה הנדרש להשגת "הגנת חסינות העדר" יהיה בערך 50 – 75%. מנגד, ניקח את המחלה בעלת ה R0 הגבוה ביותר – מחלת החצבת. למחלה זאת R0 העומד על 12-18. אחוז הכיסוי החיסוני הנדרש במצב כזה יהיה 92-94%. באוכלוסיות מסוימות, בהן הצפיפות גבוהה באופן מיוחד, ערכי ה-R0 של חצבת יכולים לעלות אף יותר, ואחוז הכיסוי החיסוני הנדרש יהיה גבוה מאוד.

עד כאן דיברנו על מודל מתמטי פשוט. האם הערכת אחוז הכיסוי החיסוני באמת יעילה במניעת התפשטות מגיפות?

עד כניסת החיסון נגד חיידק ההמופילוס אינפלואנזה סוג בי (Hib), היה חיידק זה הגורם החיידקי השכיח ביותר לדלקת קרום המוח בילדים במדינות מפותחות. במדינות מתפתחות כדוגמת מדינת גמביה, דלקת קרום המוח מחיידק ה- Hib הסתיימה ב- 30% מהמקרים בתמותת החולה. הערכת ה- R0 של חיידק ה- Hib עומדת על 3.3 [6], והכיסוי החיסוני הנדרש במקרה זה יהיה כ- 70%. אכן, מבצע להשגת כיסוי חיסוני של 70% שהחל בגמביה בשנת 1997 הוריד את מספר הילדים הסובלים מדלקת קרום המוח ב- 99% [7]. תוצאות דומות אפשר לראות במקרה של אוכלוסיית הילידים האמריקאית [8]. 

אחת המחלות הקשות שפקדה את האנושות הייתה מחלת האבעבועות השחורות שהיתה אחראית למותם של כ-300 מיליון איש במהלך המאה העשרים בלבד [9]. בעקבות מבצע מקיף של ארגון הבריאות העולמי להכחדת המחלה באמצעות חיסון יעיל כנגדה, והשגת כיסוי חיסוני עולמי של 80% [10], הוכרזה המחלה ב-1980 כממוגרת. 

מדובר במחלה הראשונה שהאנושות הצליחה להכחיד ובהוכחה לחשיבות החיסונים ולחשיבות העמידה ביעד הכיסוי החיסוני.

מקורות: 

1. על מחלת החצבת באתר משרד הבריאות

2. הכיסוי החיסוני הרצוי למחלת החצבת, לפי ארגון הבריאות העולמי

3. הרחבה בנוגע למספר ההתרבות הבסיסי

4. הרחבה בנוגע למתמטיקה מאחורי מספר ההתרבות הבסיסי

5. מספר ההתרבות הבסיסי של מחלת השפעת

6. מספר ההתרבות הבסיסי של המופילוס אינפלואנזה סוג בי 

7. כיצד חיסון יעיל וכיסוי חיסוני העלימו את מחלת המופילוס אינפלואנזה ממדינת גמביה

8. השפעת הכיסוי החיסוני על מחלת ההמופילוס אינפלואנזה בקרב ילידי אמריקה

9. הרחבה בנוגע למיגור האבעבועות השחורות

10. נייר עמדה של ארגון הבריאות העולמי בנוגע לאבעבועות שחורות