לעיתים האתגר המרכזי בניווט הוא דווקא מדידת זמן מדויקת. נראה דוגמאות לחשיבות של מדידת הזמן בניווט באמצעות כוכבים ובניווט באמצעות GPS.

מה נעשה אם ה-GPS יפסיק פתאום לעבוד? אנחנו כל כך רגילים להסתמך עליו! נדמיין את עצמנו משיטים ספינה בלב ים בלילה חשוך. לא רואים כלום ממטר, מלבד כמה כוכבים שמנצנצים באפלה. לפתע, אנו מגלים שה- GPS התקלקל. מה לעשות?

בירכתי הספינה, אנחנו מוצאים ספר ישן ומצהיב המכיל הוראות ניווט לפי הכוכבים [1]. אנו מזהים בשמיים כוכב שמיקומו תואם לאחד הכוכבים במפת הכוכבים שבספר. השעה היא אחת עשרה בלילה. על ידי הסתכלות בטבלאות בספר, אנו מוצאים את המיקום על פני כדור הארץ בו הכוכב ניצב לארץ בשעה זו, ומסמנים את הנקודה על גבי מפה שברשותנו. בהמשך, אנו מודדים את הזווית בין קו האופק לכוכב (Angle of elevation). ניתן להשתמש לשם כך במכשיר ניווט ייעודי (תיאודוליט), לבנות מכשיר באמצעות מד זווית, או להשתמש באפליקציה בטלפון [2]. באמצעות הזווית שנמדדה וחיפוש בטבלאות, אנו מוצאים את המרחק שלנו מהנקודה שעל המפה, נניח שישים קילומטרים. מכאן, נוכל להסיק שאנו נמצאים במקום כלשהו על מעגל ברדיוס שישים קילומטרים שמרכזו בנקודה שסומנה על המפה. נחזור על התהליך עבור כוכב נוסף. לבסוף, נשרטט את שני המעגלים על המפה. המעגלים נחתכים בדרך כלל בשתי נקודות, ואחת מהן  מציינת את מיקומנו. בינגו!

ניווט באמצעות כוכבים הייתה שיטת הניווט המקובלת במשך מאות שנים. חוקרים רבים צפו בכוכבים ובנו טבלאות מפורטות ששימשו את יורדי הים במסעותיהם. הטכניקה של מציאת נקודת חיתוך בין מעגלים, שיטה הנקראת טריאלטרציה (Trilateration- להבדיל מ"טריאנגולציה": שימוש במשולשים לניווט) היא אחת השיטות המרכזיות בניווט גם כיום. לשיטה זו יש מגוון יישומים מודרניים, כמו למשל איכון מיקום ירי באמצעות רעש התותח [3], ומציאת מיקום הטלפון של מטייל שהלך לאיבוד. גם טכנולוגיית ה-GPS משתמשת בשיטה דומה, כמו שנראה בהמשך.

בינתיים נחזור לספינה. נניח שהשעון שלנו לא הכי מדויק, וגילינו שהוא מפגר בארבע דקות. מה יכול לקרות? מתברר שהרבה. במשך ארבע דקות, כדור הארץ מסתובב מזרחה מאה ואחד עשר קילומטרים. לכן, כל החישובים שעשינו בזיעת אפינו היו משובשים!
ובאמת, הדיוק במדידת זמן הוא גורם קריטי להצלחת ניווט לפי כוכבים. האנגלים למדו זאת על בשרם: בשנת 1707, ארבע ספינות אנגליות טבעו עקב טעות בניווט ליד איי סילי ולמעלה מאלף וארבע-מאות מלחים וקצינים נספו [4].
אסון זה, הניע את האנגלים לפתח שעונים מדויקים לניווט. בשנת 1736 הציג המדען הבריטי ג'ון הריסון את הכרונומטר הראשון, שבעקבותיו נבנו שעונים דומים המצטיינים בדיוקם ומשמשים לניווט ימי.

בזמן שחשבנו על הסיפור הזה, ה-GPS בספינה חזר לעבוד, והסיוט נגמר. ניווט באמצעות GPS שונה מניווט לפי כוכבים, אולם קיימים צדדים משותפים: שימוש בטריאלטרציה וצורך בדיוק מירבי של מדידות זמן. במקום להשתמש בכוכבים המנצנצים בשמיים, חגים מעלינו לוויני GPS המסודרים כך שבכל רגע נוכל לקלוט תשדורות מלפחות ארבעה מהם. כל לווין שולח בצורה מחזורית למקלט ה-GPS בטלפון שלנו תשדורת רדיו בנוסח: "שלום. שמי לווין A, אני נמצא בקואורדינטות ( XA,YA,ZA ) ואני שולח לכם את ההודעה הזאת בזמן TA."

כיצד ניתן למצוא את מיקומנו באמצעות השדרים? גלי רדיו מתפשטים במהירות האור. לכן, על ידי מדידת הפרש הזמנים בין זמן השליחה (TA) לזמן הקליטה במשדר שלנו והכפלתו במהירות האור, ניתן לדעת את מרחקו של לווין A מאיתנו. נניח שחישבנו שהפרש הזמנים בין זמן השליחה לזמן הקליטה הוא 0.06667 שניה. על ידי הכפלה במהירות האור נקבל שמרחקנו מהלוויין הוא 20,000 קילומטר. מכאן, נוכל להסיק שאנו נמצאים על מעטפת כדור דמיוני שמרכזו בקואורדינטות ( XA,YA,ZA ) וברדיוס 20,000 ק"מ. נחזור על התהליך עבור לווין B ולוויו C, ונקבל שלוש מעטפות כדוריות. על ידי מציאת נקודות החיתוך ביניהן נקבל את מיקומנו! (הערה: יש שני מיקומים אפשריים אבל בדרך כלל רק אחד מהם מתאים למיקום על פני כדור הארץ). 

זאת השיטה הבסיסית שבה רכיב ה-GPS שנמצא בטלפון שלנו עובד. אולם, הפתרון מסתבך עקב מגבלת הדיוק של שעונים. לצורך מדידת המרחק מלוויין, אנו צריכים להכפיל את הפרש הזמנים במהירות האור, שהוא מספר עצום. לכן, כל טעות קטנה במדידת זמן יכולה לשבש את החישוב.
כדי לשפר את הדיוק, משתמשים בכמה שיטות. ראשית, הלוויינים משתמשים ב"שעונים אטומיים" הנחשבים לשעונים המדויקים ביותר הקיימים כיום. אולם, גם זה אינו מספיק: כיוון שהלוויינים נעים כל הזמן והם נמצאים בשדה גרביטציוני הקטן מזה הקיים על פני כדור הארץ, אזי לפי תורות היחסות הזמן שלהם שונה מזה של השעונים על הקרקע, ויש לבצע תיקונים כדי להישאר מסונכרנים [5].

מה ניתן לעשות כדי להתגבר על אי הדיוק של השעונים הפשוטים שבטלפון שלנו והסטייה שלהם יחסית לשעונים בלוויינים? כדי להתגבר על כך, רכיב ה-GPS בטלפון משתמש במקום בשלושה לווינים בארבעה או יותר, ומנסה באמצעות חישובים מתמטיים לשערך ולנטרל את השגיאה. בנוסף, כאשר מתאפשר, הטלפונים משתמשים גם במרחקם מאנטנות סלולריות שונות, והתוצאה בדרך כלל משביעת רצון: כיום, הטעות של GPS בטלפונים שלנו היא בערך חמישה מטרים.

אכן, שיטות הניווט השתנו והשתכללו מאוד במהלך ההיסטוריה, אולם העקרונות הבסיסיים הקשורים למתמטיקה (השימוש בטריאלטרציה), וגם האתגרים כמו הרגישות הרבה לשגיאות המאלצת מדידות זמן מדויקות נשארו רלוונטיים כבימי קדם.

מקורות:

[1] ניווט על ידי כוכבים בוויקיפדיה באנגלית 

[2] מציאת זווית הגבהה

[3] מציאת מיקום תותח באמצעות רעש הירי   

[4] אסון איי סיליי

[5] יחסות ו GPS