"דעיכה מעריכית" היא תהליך שבו כמות כלשהי הולכת ופוחתת בקצב יחסי לכמות הנוכחית. כדוגמה: נניח שיש לכם בבנק פיקדון לא מוצלח שלא מניב תשואה, אבל אתם משלמים עליו דמי ניהול שנתיים בסך שבעה אחוזים. הסכום שהפקדתם ילך וידעך מידי שנה, וחישוב פשוט יראה שאחרי כעשור תישארו עם כמחצית הסכום. זמן זה, שבסופו נותר חצי מהערך התחילי, נקרא "זמן מחצית החיים". דעיכה מעריכית מופיעה בתחומים רבים במדע, בהנדסה, ובחיי היום היום, וכתבנו בעבר על תופעה מעניינת זו [1] אחד התחומים הידועים שבו קיימת התופעה, היא דעיכות רדיואקטיביות (עליה כתבנו בעבר [2]), שבהן אטום הופך לאטום אחר תוך פליטת קרינה. 

נושא הדעיכה נכלל בלימודי המתמטיקה בתיכון, וספרי הלימוד מכילים שלל בעיות, כולל שאלות בנושא התפרקות חומרים רדיואקטיביים. שאלות אלו נכתבות כיד הדמיון השורה על מחבריהם, ואין שימוש במספרים אמיתיים ואזכורים של מחקרים בתחום. נראה ששימוש בבעיות אותנטיות יכול להוסיף עניין ומוטיבציה ללימוד מתמטיקה ומדעים, לשם כך, ננסה להראות את הקשר בין דעיכות רדיואקטיביות למדידת גיל כדור הארץ.  מאחורי הקשר הזה, קיימת עבודת מחקר מקיפה שנעשית מאז תחילת המאה התשע עשרה במטרה לשערך את גיל כדור הארץ והסלעים שבו. אכן, עשרות מדידות נעשו וההיסטוריה המדעית משופעת בהרבה סיפורים מעניינים על מדענים ואבנים.

להערכת גיל כדור הארץ יש היסטוריה ארוכה המבוססת לעיתים גם על תאוריות שהוכחו כשגויות.  בשנת 1862 פרסם המדען הנודע הלורד קלווין מודל מתמטי שחזה שגיל כדור הארץ הוא כ־50–150 מיליוני שנים [3] .מודל זה, שהשתמש ב"דעיכה מעריכית", נבנה מתוך הערכת הזמן הדרוש להתקררות כדור הארץ לטמפרטורה שהוא נמצא בה היום, בהנחה שסך כל אנרגיית החום ההתחלתית דועכת ואין מקור חום נוסף. 

אולם, אחרי מספר שנים, הסתבר שהמודל היה שגוי: ההנחה שכדור הארץ הוא מערכת סגורה ללא מקורות חום נוספים הייתה שגויה, כיוון שעקב התפרקות רדיואקטיבית של סלעים נוצר חום, מה שמשבש את החישובים. מי שגילה זאת והציע תיקון הוא המדען המפורסם שנודע בין היתר בשל חקר הרדיואקטיבית, ארנסט רתרפורד. הוא הציע למדוד גיל סלעים באמצעות שימוש בתופעת ההתפרקות הרדיואקטיבית, שיטה הנהוגה עד היום. כדי להבין את ההגיון שמאחורי השיטה, נסתכל על דוגמה לשאלה שניתן לשלב בשיעורי מתמטיקה בתיכון

"נתון סלע ,שעשוי ממינרל בשם זירקון , בתוכו נמצא איזוטופ של אורניום ( U235). לחומר זה שרשרת דעיכה המסתיימת בעופרת (P207) בתהליך שזמן מחצית החיים שלו הוא כ-700 מיליון שנה. כלומר אחרי 700 מיליון שנה, חצי מכמות האורניום הופכת לחומרים אחרים, אחרי 1400 מיליון שנה, אנו נותרים רק עם רבע מהאורניום, וכולי. בבדיקת סלע נמצא ש 1.17% מהתערובת שהתקבלה היא אורניום. בהנחה שהסלע נוצר קרוב לזמן יצירת כדור הארץ, ובעת היווצרותו הסלע הכיל רק אורניום, מה גיל כדור הארץ? "

התשובה 4.5 מיליארד שנה. תוכלו להיווכח בהצבה [6] . אולם, כאשר הצגו את הבעייה לסטודנטים ומורים למתמטיקה (דתיים וחילוניים), הופתענו מחוסר הידע על המחקרים בנושא תיארוך כדור הארץ. כמה מהם שאלו: אולי המדע טועה? 

אכן, כמו שהראינו בדוגמה, המדע מבוסס על תצפיות ותאוריות, ולא מתיימר לספק אמת אבסולוטית. לעיתים, תיאוריה חדשה מחליפה תאוריה קודמת, בהתאם לידע נוסף שמתווסף. ויש תיאוריות שהתגלו כשגויות. אולם מאז ראשית המאה ה-20, נעשו הרבה מחקרים שגילו סלעים עתיקים שגילם יותר מ-4 מיליארד שנה. בנוסף לאיזוטופ U235, קיים איזוטופ של אורניום U238 שזמן החיים שלו הוא 4.47 מיליארד שנה. ודועך לשרשרת חומרים שהאחרון מביניהם הוא איזוטופ יציב של עופרת (P206). על ידי שילוב של בדיקת שני האיזוטופים של אורניום ושני סוגי העופרת בסלעי זירקון, המדענים גילו שיש התאמה טובה, והמודלים המתמטיים אכן עובדים היטב. גם מחקרים בתחום הפיזיקה התיאורטית, הביאו אותנו להבנות עמוקות בנושא התפרקות רדיואקטיבית, ולא נראית כל סיבה להניח שקצב התפרקות של איזוטופים לא ישמר קבוע לאורך השנים. לפי כל הנתונים הללו, נראה כי גיל כדור הארץ הוא כ-4.5 מיליארד שנים.

בשנת 2001 נמצאו בחוות כבשים באוסטרליה, באזור הקרוי Jack Hills סלעים המכילים גבישי זירקון, הקדום ביותר הידוע לנו כיום וגילו כ-4.4 מיליארד שנים. החוקרים לא הסתפקו בתיארוך באמצעות איזוטופים. כדי למנוע טעויות מדידה עקב נדידה של אטומי עופרת בגביש, הם השתמשו בטכנולוגיות מיקרוסקופיות מיוחדות לוודא שאין טעויות כאילו. אחרי הבדיקות, הם דיווחו שאכן הם מחזיקים בידם את הגביש הקדום ביותר הידוע למדע [5]!. 

כיום, מקום זה הפך למקור השראה, ומדענים נלחמים על הזכות לחפור בו , כדי ללמוד על תולדות כדור הארץ. לשמחתנו , סלע שלם מאזור Jack Hills נמצא במעבדה בה עובדת רונה מהעמותה שלנו. היא צילמה אותו בידיים רועדות מהתרגשות ושלחה לנו :

נראה ששילוב נושא זה בהוראה ובתקשורת המדע, כולל שימוש בסיפורים אותנטיים על מדענים מתלהבים שמחטטים בקרקע ומגלים סלעים עתיקים, יכול להעניק עניין ומוטיבציה למתמטיקה ולמדע

מקורות:

[1] מתמטיקה בקטנה: המתמטיקה של קפה ומאפה

[2] סדרת הזמן העמוק: תארוך פחמן 14

[3] גיל כדור הארץ

[4] מדידה באמצעות 2 איזוטופים

[5] על הסלע העתיק ביותר

[6] 0.5^(4.5E9/700E6)= 1.17% החישוב: