נוסחת אוילר
01/06/2019
לכבוד אירוע הכדורגל הגדול של 2019, גמר ליגת האלופות בין ליברפול לטוטנהאם שיערך הערב במדריד, החלטנו לספר לכם על נוסחת הפאונים של אוילר, הנוסחה המתמטית המאפשרת למהנדסים לחשב מראש לכמה מחומשים ומשושים הם זקוקים כדי ליצור את הכדורגל - משחק הכדור הנצפה בעולם.
התבוננו בכדור הכדורגל שבתמונה. הוא מורכב ממחומשים ומשושים משוכללים, כלומר שכל צלעותיהם וזוויותיהם שוות, כך שכל מחומש מוקף בחמישה משושים וכל משושה מוקף בשלושה מחומשים. אולם כמה מחומשים ומשושים יש בסך הכל? כיצד מחשבים את זה? יש לנו שני פרמטרים לקבוע, אז אם נצליח למצוא שתי משוואות המקשרות ביניהם, נוכל לקבוע את ערכיהם. הבה ניגש למלאכת מציאת המשוואות.
אם נסמן את מספר המשושים ב-H (מהמילה -Hexagon, משושה), ואת מספר המחומשים ב-P (מהמילהנ-Pentagon, כן, כמו בניין המטה הצבאי של ארה"ב, שצורתו מחומשת), נקבל משוואה אחת מהצורה שתארנו למעלה. אם כל מחומש מוקף בחמישה משושים וכל משושה בשלושה מחומשים, נקבל את המשוואה 5P=3H. אבל למשוואה זו פתרונות רבים - שלושה מחומשים וחמישה משושים, שישה מחומשים ועשרה משושים ועוד אינסוף פתרונות. האם אפשר ליצור כדור כדורגל מכל אחד מהם?
התשובה היא לא, וכאן נכנס לתמונה המתמטיקאי השוויצרי הגדול לאונרד אוילר, המתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה ואולי המתמטיקאי האחרון שניתן להגיד עליו שהכיר את כל המתמטיקה של תקופתו [1]. אוילר הוכיח נוסחה המקשרת בין מספר הפאות, המקצועות והקודקודים של כל פאון קמור, כלומר פאון שלא "מתעקם פנימה". אם נסמן את מספר הפאות ב-F, מספר המקצועות ב-E ומספר הקודקודים ב-V, אוילר הראה ש-F-E+V=2, משוואה הידועה כנוסחת הפאונים של אוילר [2]. אפשר לבדוק את הנוסחה על קובייה. לקובייה יש שש פאות, 12 מקצועות - ארבעה בכל בסיס וארבעה נוספים בהיקף, ושמונה קודקודים. 6-12+8 אכן נותן 2.
חזרה לכדור שלנו. מספר הפאות הוא סכום מספרי המשושים והמחומשים, H+P. מה לגבי מקצועות? כל משושה "תורם" לנו שישה מקצועות, כל מחומש חמישה, אבל כל מקצוע משותף לשתי פאות, כלומר מספר המקצועות הוא 2/(6H+5P). בצורה דומה אפשר לכתוב ביטוי עבור מספר הקודקודים. מכל משושה יש שישה, מכל מחומש חמישה, וכל קודקוד משותף לשלוש פאות, אז מספר הקודקודים הוא 3/(6H+5P). כעת אם נשתמש בנוסחת אוילר, בכך ש-5P=3H, נוכל לפתור ולגלות שדרושים לנו בדיוק 20 משושים ו-12 מחומשים כדי לתפור כדור כדורגל.
אבל פה לא נגמר היופי של הנוסחה. הקובייה, וכדור הכדורגל, ורוב הפאונים שאנחנו חושבים עליהם, הם כאלה שכולאים בתוכם כדור. מה .לגבי פאונים שכולאים בתוכם בייגל, טורוס בעגה המתמטית, כמו זה שתוכלו לראות באתר
? לגבי פאונים כאלה מתקיים F-E+V=0. ומה לגבי כאלה שכולאים בתוכם את הסיפרה 8? במקרה זה הסכום יהיה 2-, ובאופן כללי, על כל "חור" נוסף שנרצה לעשות בפאון שלנו, נצטרך לחסר 2 מהסכום.
מעבר לקוריוז, לנוסחת אוילר והרחבות שלה שימושים בתורות מתמטיות שונות, כגון תורת הגרפים ותורת ההומולוגיה, ודרכן גם לתחומים מדעיים שונים.
בועז קרני-הראל הוא בעל תואר שני במתמטיקה.
[1] על לאונרד אוילר
סמנכ"ל תפעול ב"מדע גדול בקטנה". דוקטור לפיזיקה בתחום תורת המיתרים ובעל תואר שני במתמטיקה מהאוניברסיטה העברית בירושלים.
