ינואר, 1942. גרמניה. מכתב מגיע לביתו של המתמטיקאי היהודי המהולל פליקס האוסדורף. הוא קורא את המכתב וחייו חולפים מול עיניו, וחייו אכן היו יוצאי דופן. הוא אחד המתמטיקאים החשובים ביותר בעולם, אך מחוץ למשרד התמסר לספרות, שירה ורוח ומעגל חבריו הקרובים הורכב כמעט לחלוטין מהמלחינים, הסופרים והאמנים החשובים ביותר בבוהמה הגרמנית. מותש, הוא מבין מה עליו לעשות, מתיישב למכתבתו ומתחיל לכתוב…

האוסדורף נולד בשנת 1868 בורוצלב. כשהיה בן שנתיים עברה משפחתו ללייפציג. אביו לואיס היה איש משכיל, הוא הגיע למעמד רב-מלמד בגיל 14 בלבד ופרסם מספר ספרים, לרבות עבודה מפורסמת על התרגומים הארמיים לתורה. הוא דאג לחינוך מצויין לבנו, שנהיה לתלמיד המצטיין ביותר בבית הספר, והתעניין בתחומי דעת רבים. הוא כתב שירה בגרמנית ובלטינית וגמע ספרות פילוסופית והומנית, אך בשני תחומים הפגין כשרון יוצא דופן -- מתמטיקה ומוזיקה. בעקבות לחץ מצד אביו החליט האוסדורף לזנוח את המוזיקה ולהקדיש את חייו ללימודי המדעים. הוא החל ללמוד מתמטיקה ואסטרונומיה באוניברסיטת לייפציג.

מהסמסטר הראשון ועד סוף הדוקטורט, התבלט האוסדורף לא רק כתלמיד וחוקר מהמעלה הראשונה, אלא גם כאדם מרתק עם תחומי עניין רבים. הוא פקד ההרצאות בפיזיקה, כימיה, גאוגרפיה, פילוסופיה, היסטוריה, בלשנות, ספרות, מוזיקולוגיה ומדעי המדינה. הוא לא ויתר על זיקתו למוזיקה והיה מארח בביתו אנשי רוח ומנגן להם ממיטב היצירות. באופן שיתברר כאירוני, הוא פיתח באותן השנים חיבה עמוקה במיוחד ליצירותיו של ריכארד ואגנר.

עבודת הדוקטורט של האוסדורף לא היתה משמעותית במיוחד. העבודה עסקה בתאוריה של האסטרונום היינריך ברונס, אשר נפלה מקונצנזוס לאחר שלא הצליח לבסס אותה אמפירית. עם זאת, עבודתו המתמטית המצוינת לא חמקה מעין האקדמיה ובשנת 1901 (לאחר שהספיק, על הדרך, גם לפרסם שני ספרי פילוסופיה) התמנה למשרת פרופסור נלווה למתמטיקה באוניברסיטת לייפציג.

למרות הרזומה המרשים שלו, שבעה מתוך 29 חברי הסגל הצביעו נגד מינויו משיקולים "דתיים". סימן מטריד מני רבים של האנטישמיות הגלויה בגרמניה באותן השנים. מאז המשבר הכלכלי בשנת 1873 קולות אנטישמיים הפכו לבולטים בשיח הגרמני, ולייפציג נהייתה מוקד של אנטישמיות, בעיקר בקרב סטודנטים. זו אולי אחת הסיבות שבשנת 1910 עבר האוסדורף לבון, בה נשאר עד סוף הקריירה שלו.

העבודה המתמטית של האוסדורף התחילה ממקום מאוד יישומי, אך בשנים בין הדוקטורט למינוי מצא את הפנאי להתעמק בפילוסופיה, שהובילה אותו בשנת 1897 ללמוד את עבודותיו פורצות הדרך של גאורג קנטור על תורת הקבוצות[1]. האוסדורף יקדיש לתורת הקבוצות של קנטור את עיקר הקריירה שלו ויפתח אותה לכדי עושר שאיש לא דמיין, תוך כדי שהוא ממציא, משנה ומפתח כבדרך אגב כמה מאבני היסוד של המתמטיקה המודרנית.

בפשטות, תורת הקבוצות של קנטור מאפשרת לנו להרחיב את המספרים הטבעיים אל מעבר לאינסוף, לכדי מה שנקרא מספרים טרנספיניטיים [2], ועמה את האינדוקציה המתמטית [3]. כמו עם מספרים רגילים, גם בין המספרים הטרנספיניטיים אפשר לבצע פעולות חשבון. קנטור ידע איך אפשר לחבר ולהכפיל מספרים כאלו, אבל אף אחד לא ידע איך אפשר להעלות בחזקת מספר כזה. זאת עד שנת 1904 בה פרסם האוסדורף את נוסחת הרקורסיה המפורסמת שלו, שמהווה עד היום את הבסיס לתחום הנקרא "אקספוננציאציה של עוצמות" [4].

סרטון על טרנספיניטיות

בשנת 1914 פרסם את הספר ההיסטורי "העקרונות של תורת הקבוצות", שהפגין לראווה את כושר ההפשטה הנדיר שלו. בספר הציג לראשונה דיון שיטתי בתורת הקבוצות, שהיתה אז תחום יחסית חדש, תוך כדי שהוא מספק לראשונה הוכחות מלאות לטענות קיימות לצד עושר של תוצאות חדשות.

כמות הרעיונות שהספר מיסד ופיתח היא בלתי נתפסת. העיקרי בהם הוא תחום בסיסי וחשוב בשם טופולוגיה[5], החשוב לכל תחומי המתמטיקה מגאומטריה ועד לוגיקה. בהמשך נתן את ההצגה הראשונה של תורת המידה [10], תחום המנסה לקחת את מושג הנפח ולהכליל אותו מצורות פשוטות כמו כדורים וקוביות לצורות מורכבות ככל הניתן. הוא דן בקשר בין תורת המידה לתורת ההסתברות והציג באמצעותו הוכחה למשפט חשוב בשם החוק החזק של המספרים הגדולים [6]. עוד פנינה היא מימד האוסדורף [7], אשר מכליל את המושג של המימד הגאומטרי לפרקטלים (ובמובן מסויים מגדיר מה הוא פרקטל).

[סרטון על מימדים פרקטליים]

אבל התוצאה הצבעונית ביותר בספר מופיעה דווקא בנספח, בו ניסה להבין אם אפשר להכליל את מושג הנפח שאנחנו מכירים לכל תת-קבוצה של המרחב. הוא הניח שאפשר, והראה שאז קיימת צורה שאפשר לפרק לשתי צורות בעלות אותו נפח כמו הצורה המקורית. זה מוביל למסקנה שהנפח של הצורה גדול פי שתיים מ... עצמו! שזה כמובן אבסורד. האבסורד הזה ידוע היום כפרדוקס האוסדורף [8]. קו מחשבה זה הוביל בהמשך לפרדוקס בנך-טרסקי המפורסם[9] שמראה איך אפשר לחתוך כדור לכמה חתיכות, להזיז אותן קצת, ולסיים עם שני כדורים באותו הנפח.

[סרטון על בנך טרסקי ]

בשנת 1935 קיבל סטטוס אמריטוס חרף התנגדות ממסדית וללא שום הכרה בתרומתו יוצאת הדופן לאורך ארבעה עשורים של פעילות אקדמית. חרף התנכלויות חוזרות ונשנות כלפיו וכלפי משפחתו המשיך לפרסם מאמרים בשלל נושאים, עת שהוא מנסה ללא הועיל למצוא דרך להמלט מגרמניה.

לקראת סוף שנת 1941 החל טיהור יהודי בון. בינואר 1942 קיבל האוסדורף מכתב המורה עליו, על אשתו, ועל אחותה שגרה עמם, לסור אל מחנה אנדניך. הוא הבין מה עליו לעשות, התיישב למכתבתו וכתב לעורך דינו מכתב שהחל במילים "חברי היקר וולשטיין! אם קיבלת שורות אלו, שלושתנו פתרנו את הבעיה באופן אחר…". ב26 לינואר 1942, פליקס האוסדורף, אשתו שרלוט ואחותה אדית שלחו ידם בנפשם על-ידי נטילת רעל.

מותו הטראגי של האוסדורף הוא עוד דוגמה לכך שהטוטליות הנאצית לא רק השמידה חיים וקהילות אלא גם פגעה במדע, בתרבות ובאנושות ככלל. אך גם כמעט מאה שנים אחרי נפילת המפלגה הנאצית, המורשת של האוסדורף מחלחלת דרך כל תחומי המתמטיקה, ומשם לכל תחומי החיים, ואפשר למצוא נחמה בכך שיופי אמיתי יכול לזהור גם דרך הקודרת שבאפילות.

מקורות

[1] על המאמר הראשון של קנטור

[2] על מספרים טרנספיניטיים

[3] על אינדוקציה טרנספיניטית

[4] על אקספוננציאציה של עוצמות

[5] על טופולוגיה

[6] על חוק המספרים הגדולים

[7] על מימד האוסדורף

[8] על פרדוקס האוסדורף

[9] על פרדוקס בנך-טרסקי