עוד מעט אגיד את התשובה שלי, אבל אני חושבת שאחד מהדברים הנחמדים בויכוח היוקד הזה הוא שמצד אחד אין בו צודקים וטועים, ומצד שני קל מאוד להגיד מי צודק ומי טועה. כי אנחנו בממלכת המתמטיקה, ובממלכה הזו עדיין יש תקווה כלשהי לפעמים להגדיר דברים בצורה מדויקת ולנהל עליהם דיון מדויק.

אם כן, החלטתם באיזה צד אתם? יפה, אל תגלו לי עדיין. זה פחות חשוב. השאלה האמיתית שאני רוצה לשאול היא "למה?". למה החלטתם דווקא את ההחלטה הזו? האם אינטואיציה? האם הגדרות פורמליות שאתם כבר מכירים? האם זו הפעם הראשונה שבה נתתם את דעתכם לבעיה הזו (שכבר אפשר לספר שהיא זניחה עד לא קיימת מחוץ לעולם המתמטי?)

אפשר לומר, למשל, שאנחנו כבר יודעים ש-1/3 ("שליש") שווה ל-...0.333, ולכן אם נכפול אותו ב-3 נקבל מצד אחד 1 ומצד שני ...0.999. זה נימוק מצוין, אבל הוא דורש הנחה קדומה, ששליש הוא באמת ...0.333, וזה משאיר אותנו עם הבעיה של מה זה בכלל מספר עשרוני שמסתיים בשלוש נקודות.
אפשר גם לעשות תעלול אחר - לכפול ב-10 את ...0.999 ולקבל ...9.999, להוריד מהתוצאה 9 ולקבל את המספר שהתחלנו ממנו. כלומר, אנחנו מקבלים את המשוואה 10x-9=x שפתרונה נותן 1. גם זה נימוק מצוין, אבל גם בו יש הנחה קדומה - שאפשר לכפול את ...0.999 ב-10 ובאמת מקבלים ...9.999. זה שוב דורש מאיתנו להסביר מה זה בכלל מספר עשרוני שמסתיים בשלוש נקודות.

ולהסביר מה זה מספר עשרוני שמסתיים בשלוש נקודות דורש שנסביר קודם מהו מספר עשרוני.

מהו 2? המספר "שתיים". ומהו 12? המספר "תריסר", כשהוא מוצג בתור תרגיל חשבוני: 12 אומר "10 ועוד 2". הספרה הימנית היא "ספרת האחדות" והשמאלית היא "ספרת העשרות". המספר 504 הוא התרגיל "כפלו את 100 ב-5, חברו לזה את 10 כפול 0, וחברו לזה את 1 כפול 4". כלומר, אנחנו כופלים את ספרות המספר בחזקות של עשר (10 בחזקת 0 הוא 1, למקרה שזה מבלבל), ה"עשר" הזה הוא הסיבה ששיטת הכתיב שלנו נקראת "עשרונית".
הנקודה העשרונית מפרידה בין המקום שבו מחברים חזקות אי-שליליות של עשר והמקום שבו מחברים חזקות שליליות.

למשל, 0.25 בא לומר "0 כפול 10 בחזקת 0, ועוד 2 כפול 10 בחזקת מינוס 1, ועוד 5 כפול 10 בחזקת מינוס 2". המספר 10 בחזקת מינוס אחד מוכר לנו בתור "עשירית" ובחזקת מינוס 2 בתור "מאית" כך ש-0.25 הוא "שתי עשיריות ועוד חמש מאיות", מה שבחישוב זריז מתברר להיות 25 חלקי 100, או 1 חלקי 4, כלומר "רבע" הישן והטוב.

אבל מה קורה כשיש שלוש נקודות…?

שלוש הנקודות מרמזות "ומכאן המספר ממשיך עוד ועוד, הספרות שלו לא נגמרו". במקרה של ...0.999 הכוונה היא שיש את הספרה תשע כל הדרך למטה: תשע עשיריות ועוד תשע מאיות ועוד תשע אלפיות וכן הלאה עד אין קץ. יש לנו פה טור אינסופי, ולמתמטיקאים שיטות שונות ומשונות להגדיר מהו ה"סכום" של טור כזה ("גבול סדרת הסכומים החלקיים של הטור" הוא השיטה שבה משתמשים כאן), אבל האינטואיציה משרתת אותנו היטב - הסכום של טור שכזה הוא באמת המספר שנרגיש שהטור "מתקרב" אליו ככל שמחברים יותר ויותר איברים.

במקרה שלנו חישוב זריז לא מותיר מקום לספק - חיבור עוד ועוד "תשע כפול חזקה שלילית של עשר" מקרבים אותנו אל 1 ולא אל שום מספר אחר. כאן החלק החישובי של המתמטיקה מסתיים ומתחיל הדיון על ההגדרות: האם כאשר כותבים מספר בייצוג עשרוני, הייצוג הזה מתאר "תהליך" שמתקרב אל המספר, או שהוא מתאר את המספר שהוא סכום התהליך הזה?

כאן הבחירה של העולם המתמטי הייתה חד-משמעית: ייצוג עשרוני מתאר את המספר שהוא סכום הטור, לא את הטור עצמו. זה מסיים את הויכוחים באופן אנטי-קליימקסי למדי; קשה לומר שמי שמתעקש ש-...0.999 רק "שואף" ל-1 טועה, הוא פשוט עובד עם סט הגדרות אישי משל עצמו שהופך דיון איתו למיותר.

עדיין רוצים להתווכח או שאפשר לחזור לשאלה מדוע לא רואים כוכבים בצילומי חלל של כדור הארץ?