• דמיינו שאתם חוקרים שהולכים לצפות בסדנת הדרכה המיועדת לאמהות עם שני ילדים. נניח כי המנחה בוחרת באופן אקראי אם ומגלה לכם שיש לה בת. מה הסיכוי שגם הילד השני שלה הוא בת? התשובה הראשונה שעולה: או שכן, או שלא – אז כנראה 50% (עוד נחזור למשפט הזה, ונסביר למה הוא שגוי). לשיחה איתה מצטרפת אם נוספת, שהגיעה לסדנה עם בתה. מה הסיכוי שהילד השני של האם הנוספת הוא בת? שוב, התשובה הראשונה שעולה: או שכן, או שלא – אז כנראה 50%.

כעת, המנחה מחלקת את האמהות (נניח כי ישנן בסך הכל 80 אמהות) לארבע קבוצות, לפי ילדיהן: קבוצת האמהות לשני בנים, קבוצת האמהות לשתי בנות, קבוצת האמהות שבנם הוא הבכור ואחריו בת, וקבוצת האמהות שהבכורה היא בת והצעיר הוא בן. כיוון שההתפלגות הקבוצות הללו באוכלוסיה היא דומה, נניח שכל קבוצה היא בגודל דומה (כ- 20 אמהות בקבוצה). נתמקד לרגע באם שהמנחה בחרה קודם. מה הסיכוי שהיא תכנס לקבוצת ההורים לשתי בנות? כיוון שישנן רק שלוש קבוצות אפשריות (היא לא יכולה להיות חלק מקבוצת שני הבנים), נראה שהסיכוי שתכנס לקבוצה של אם לשתי בנות הוא 20 חלקי 60, או אחד לשלוש. אם כך, התשובה לשאלה הראשונה צריכה להיות גם כן שליש. הלא כן? ומה לגבי החברה שלה, האם כנ"ל?
בעייה דומה הועלתה לראשונה בשנת 1954 על ידי מרטין גרטנר, הסופר והכתב המפורסם של ירחון "סיינטיפיק אמריקן" [1]. הניסוח הדומה לניסוח המקורי: "לגברת ג'ונס יש שני ילדים. אחת מהם היא בת. מה ההסתברות כי לגברת ג'ונס יש שתי בנות?" התשובה שמרטין נתן היא שליש (כי שתי בנות היא אחת משלוש אפשרויות שוות הסתברות, כמו שראינו בדוגמה). מפתיע!
אולם, בעקבות הפרסום בירחון החלו לזרום תגובות רבות, והשאלה עוררה הרבה ויכוחים. לבסוף הודה מרטין שהשאלה לא מוגדרת היטב, כיוון שלא ברור כיצד נודע שיש לאמא בת. לכן, גם שליש וגם חצי הן תשובות אפשריות. הכיצד?
אתם משוחחים עם האם שנבחרה לראיון. "ברור שהתשובה היא שליש". היא אומרת. אתה יודע עלי רק שאני נבחרתי אקראית, ואני לא בקבוצה של אם לשני בנים, לכן ההסתברות היא שליש, כנ"ל גם לגבי חברתי".
"לא נכון! הסיכוי שתמצא שהילד השני שלי בת הוא חמישים אחוז!" עונה חברתה שהביאה את בתה. "בסדנה היום, כל אם הביאה את אחד משני ילדיה. כשראית אותי, פגשת אם אקראית שהביאה את בתה. חצי מהאמהות (40) שהגיעו לסדנה הביאו בת. מתוכם 20 שייכות לקבוצת האמהות לשתי הבנות. לכן, ההסתברות שיש לי שתי בנות היא 20 מתוך 40, כלומר חצי.
מבלבל? זהו הקסם שטמון בשאלה של מרטין. כיוון שהשאלה מנוסחת באופן לא חד משמעי, ניתן לפרש אותה בדרכים שונות בהתאם לאופן בו נודע לכם שלאם יש בת. שאלה זו עוררה ויכוחים גם בקרב חברי מדע גדול בקטנה, וביניהם גדי אלכסנדרוביץ, שכתב עליה פוסט [2]. אכן, לעיתים קרובות שאלות הסתברות בחיי היומיום לא מוגדרות בצורה חד משמעית. ראוי לתת עליהן את הדעת ולהזהר לפני ששולפים תשובות.
ומה לגבי האמירה "או שכן, או שלא ולכן הסיכוי 50% "? אמירה כזו נפוצה מאוד בחברה שלנו ופעמים רבות באופן שגוי. כמובן שהמשפט "או שכן, או שלא" הוא טאוטולוגיה ולפיכך תקף לכל הסתברות שהיא, ולכן המסקנה כאילו הסיכוי הוא 50% היא שגויה.