מתמטיקה בקטנה
28/02/2018
ניתן למדוד את גובהו של עץ בעזרת טלפון סלולרי!
הטלפונים הניידים הופכים למתוחכמים יותר ויותר. ניתן להיעזר בהם למשל לצילום ולהתמצאות במרחב. אולם, לטלפון ישנו שימוש אפשרי קצת פחות מוכר: חישוב גובהם של עצים. שימוש זה הוא דוגמה ליישום המתאפשר בזכות טכנולוגיה מתקדמת הנקראת MEMS
נניח כי אתם נמצאים במישור, בקרבת עץ כלשהו. קל להעריך את המרחק אל העץ (למשל על ידי מדידת צעדים) אולם איך ניתן למדוד את גובהו? השיטה הקדומה למציאת גובה היא באמצעות מדידת הצל. השיטה מבוססת על דמיון משולשים: היחס ביו גובה העץ לאורך צלו שווה בקירוב ליחס בין הגובה שלכם לאורך צלכם. אולם, לעתים הדבר לא מתאפשר, ויש לחפש שיטות אחרות
שכבו על הקרקע והסתכלו על צמרת העץ. הזווית שבה אתם רואים אותה ביחס לקו האופק נקראת זווית ההגבהה (Angle of Elevation). אם נדע מהי זווית זו, נוכל לחשב את גובה העץ. למי שלא למד או שכח טריגונומטריה, היחס בין גובה העץ למרחקו אלינו הוא ערך התלוי בזווית ההגבהה, ערך זה קרוי טנגנס הזווית. לכן, אם נכפיל את טנגנס זווית זו במרחק לעץ נקבל את גובה העץ. אולם כיצד נמצא את זווית ההגבהה?
ניתן לבנות מד שיפוע מאולתר על ידי שימוש במד זווית ומשקולת שתחובר אליו בחוט (ציור באתר). אולם, סביר להניח שאתם לא מסתובבים עם מד זווית בתיק. לכן, נציע דרך פשוטה על ידי שימוש בטלפון.
הטלפונים המודרניים מכילים מד שיפוע. כדי להפעילו, ניתן להוריד אפליקציה (כמו Inclinometer). הצמידו את הטלפון לעין (כמו בתמונה באתר) והסתכלו על צמרת העץ. האפליקציה תציג לכם על המסך את זווית ההגבהה. מה שנשאר זה לחשב את טנגנס הזווית (למשל באמצעות אפליקציית "מחשבון הנדסי" בטלפון) ולהכפיל אותו במרחק.(בעיה למתקדמים: אם ידוע שיש טעות במדידת זווית, למשל במעלה אחת, האם כדאי להתקרב לעץ כדי למדוד, או כדאי להתרחק?)
כיצד מצליח הטלפון הדקיק שלכם לחשב את זווית ההגבהה? בשונה מרוב הרכיבים בתוך הטלפון, הרכיב שמבצע את חישוב הזווית בנוי גם מחלק מכני [1]. חלק זה בנוי ממספר משקולות זעירות הקשורות בקפיצים לחלק קבוע. כאשר מטים את הטלפון, המשקולות זזות בהתאם ומשנות את הקיבול החשמלי. שינוי הקיבול מתורגם על ידי רכיב חשמלי לשינוי הזווית המוצגת באפליקציה.
החלק המרשים הוא המזעור שנעשה בטכנולוגית [2] Micro-Electro-Mechanical- System שבאמצעותה ניתן לבנות על רכיב אחד מערכת מיקרו אלקטרו-מכנית זעירה ויעילה המשלבת בתוכה את החלקים המכנים והחשמליים. טכנולוגיה ה-MEMS מתפתחת מאוד בשנים האחרונות ומשתמשים בה במקומות רבים, כמו בתעשיית הרכב (למשל הפעלת כריות אוויר), גירוסקופים, מתגים בתקשורת אופטית. בקרים למשחקי מחשב וגם ברפואה (Bio-MEMS).
אכן, עברנו דרך ארוכה ממדידת גובה על ידי צל…
אגב, קיימות שיטות אחרות למדידת גובה העץ. למשל: תדעו כיצד ניתן למצוא את הגובה, על יד שימוש במראה שתונח על הקרקע? הצעות אחרות?
מקורות:
מהנדס מחשבים, חוקר ויזם בתחום החינוך המתמטי.
