מתמטיקה בקטנה
13/12/2017
כל מי שזכה לתענוג המפוקפק - טיול בגשם ללא מטרייה - בוודאי התחבט בשאלה עתיקת היומין: מה עדיף לעשות במצב כזה? ללכת לאט או לרוץ מהר? התשובה אינה מובנת מאליה. אם נלך לאט ניחשף לגשם זמן רב יותר; אם נרוץ מהר, ייתכן שנפגוש יותר טיפות בדרכנו.
בינתיים הגשם ממשיך להכות בנו בחוזקה, אז כדאי שנזדרז ונמצא פתרון. עלינו להחליט האם ללכת באטיות או לרוץ אל המחסה. כדי להחליט, נפשט את הבעיה בכך שנניח כי קצב ירידת הגשם לא ישתנה עד שנגיע למחסה וכי טיפות הגשם יורדות בצורה אנכית.
במקרה הזה, הטיפות ירדו באותו קצב גם אם נלך וגם אם נרוץ. למעשה, בכל שניה תפגע בנו מלמעלה בדיוק אותה כמות גשם , ללא קשר למהירות התנועה שלנו. המסקנה היא שאם הגשם יורד בצורה אנכית, מידת הרטיבות שלנו תהיה תלויה רק בזמן השהייה שלנו בגשם, ולכן כדאי לנו לרוץ כמה שיותר מהר ולתפוס מחסה.
אולם מה יקרה אם גם נושבת רוח? במקרה כזה, ירד גם גשם מהצד והבעיה תהפוך למורכבת יותר. בכל זאת, ניתן להראות כי התשובה לא תשתנה, ועדיין עדיף יהיה לרוץ. בקישור הבא תוכלו לראות סרטון נחמד הדן בבעיית הריצה בגשם [1] ודן גם במקרה שבו הגשם מגיע מהצד.
למרות שבעיית הריצה בגשם אולי נראית חסרת חשיבות היא נדונה רבות בעבר ונפתרה בדרכים שונות. חיפוש באינטרנט יעלה שלל התייחסויות של מתמטיקאים, פיזיקאים וגם של עיתונים פופולריים. מדוע בעיה זו כל כך מעניינת?
הסיבה לכך היא שזו בעיה פיזיקלית המנוסחת בפשטות רבה, ולמרות שפתרונה אינו טריוויאלי, היא ניתנת לפתרון באמצעות מודל מתמטי [2]. בניית מודל מתמטי היא טכניקה חשובה ונפוצה להתמודדות עם בעיות מהעולם האמיתי. בתהליך בניית המודל, הנקרא "מידול", אנו מנסים להתמודד עם הבעיה בכלים מתמטיים. כדי להפוך אותה לבעיה מתמטית פתירה, יש להניח מספר הנחות ובעזרתן לפשט את הבעיה. בניית מודל מתמטי הוא נושא מרכזי בהנדסה ובמחקר מדעי, וחוקרי חינוך מנסים למצוא דרכים להקנות כישורי מידול לתלמידים ולסטודנטים.
מספר פיזיקאים ומתמטיקאים החליטו להתעמק בנושא. מטרת בניית המודלים הייתה בעיקר לצורכי הוראה וכדי להדגים לנו הקוראים את תהליכי המידול. הם נעזרו בשיטות המידול כדי לתאר מקרים מורכבים ומסובכים יותר, הכוללים למשל רוח המגיעה בזוויות שונות וכן צורות שונות של הגוף [3]. הם הראו שברוב המקרים כדאי לרוץ במהירות המקסימלית האפשרית אל נקודת המחסה, אולם ישנם גם מקרים שבהם ישנה מהירות אופטימלית הניתנת לחישוב. למשל, כאשר אנו הולכים קדימה והרוח והגשם מכים בגבנו. במקרה זה, אם נרצה להישאר כמה שיותר יבשים, כדאי לנו לנוע בדיוק במהירות הרוח.
כדי להבין זאת נדמיין שטיפות הגשם הן כמו מכוניות שיוצאות בקצב קבוע ונוסעות במהירות קבועה על כביש אופקי. כדי להימנע מפגיעה בהן, נוכל "להשתלב בתנועה" ולנוע בין הטיפות במהירות הרוח. אם ננוע קדימה במהירות זו, לא נתנגש בטיפות שנעות לפנינו וטיפות שנעות אחרינו לא יפגעו בנו.
בשנת 2003, תכנית טלוויזיה אמריקאית פופולרית בשם מכסחי המיתוסים (mythbusters) ניסתה להפריך את התאוריה לפיה ריצה בגשם היורד אנכית עדיפה על הליכה [4]. למרבה ההפתעה, בתחילה נראה היה שהניסוי באולפן אכן הצליח להפריך את התאוריה, אולם בדיקה נוספת הראתה שהניסוי היה שגוי ובכל זאת עדיף היה לרוץ.
החלק המקסים בבעיות מידול הוא שניתן לפתח אותן בכיוונים רבים ושונים. למשל: אם הגורם החשוב לנו בהליכה בגשם הוא דווקא השאלה, "כמה זמן ייקח עד שנהיה רטובים לגמרי?" מה כדאי לעשות?
האם יש לכם רעיונות נוספים כיצד לפתח את הבעיה לכיוונים שונים?
אתם מוזמנים לחשוב על הנושא ולהתעמק בו כשאתם בגשם, גם אם זכרתם לקחת מטרייה.
מקורות:
מהנדס מחשבים, חוקר ויזם בתחום החינוך המתמטי.
