האם חוקי התרמודינמיקה אוסרים טמפרטורות "מתחת" לאפס המוחלט? אם כן – למה? ואם לא – איך נוכל למדוד אותן?
תזכורת קצרה: כשדיברנו בפעם הראשונה על האפס המוחלט, ציינו שלורד קלווין הגה סולם אבסולוטי של טמפרטורות – כזה שטמפרטורת האפס שלו תהיה הנמוכה ביותר שאליה אפשר להגיע. ציינו גם שלאפס בסולם קלווין יש משמעות פיסיקלית – זו הטמפרטורה בה נפחו של גז אידיאלי הוא אפס. אז איך אנחנו מדברים פתאום על טמפרטורות שליליות?
נתחיל מהעובדות. בשנת 1951, פרסל (Purcell) ופאונד (Pound) מהמחלקה לפיסיקה באוניברסיטת הרווארד חקרו את המגנטיות הגרעינית של גבישי ליתיום-פלואוריד (LiF). גרעיני אטומים עם מספר אי-זוגי של חלקיקים מגיבים באופן מובחן לשדות מגנטיים: הם מסתנכרנים עם השדה המגנטי, או נגדו (גרעיני מימן הם הידועים ביותר, וזהו העיקרון הבסיסי של פעולת ה-MRI), בניגוד לגרעינים עם מספר זוגי של חלקיקים, שבהם החלקיקים מתחלקים לזוגות ומבטלים זה את זה. אחרי שמדדו את תגובת הגביש לשדה מגנטי, הם הפכו במהירות את כיוון השדה, ובדקו את התגובה של הגביש לשינוי. מה שהם ראו היה עליה באנטרופיה כתוצאה מיציאה ממצב שיווי משקל, שלוותה ב*ירידה* באנרגיה. או, כמו שהם ניסחו במאמר: "ניתן לראות סטייה ממצב שיווי המשקל ההתחלתי ב-300 קלווין, ואחריו היפוך מצב למינוס 350 קלווין, ודעיכה בסטייה (דרך "מינוס אינסוף קלווין" ואחר-כך "אינסוף קלווין") חזרה לשיווי המשקל ההתחלתי". בשנת 2013 פרופ' קטלר (Ketterle) מהמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס ופרופ' שניידר (Schneider) מאוניברסיטת לודוויג מקסימיליאן במינכן הצליחו לשחזר את האפקט במערכת של גז קוונטי מאטומי אשלגן.
רגע, מה?! מינוס 350 קלווין?! אינסוף קלווין?! איך בכלל מודדים טמפרטורות כאלה?! איך הן בכלל אפשריות?!
תזכורת קצת פחות קצרה: ההגדרה התרמודינמית של טמפרטורה היא "הנגזרת של האנרגיה לפי האנטרופיה". בשפת לא-פיסיקאים זה אומר שהטמפרטורה היא היחס בין השינוי באנרגיה לשינוי באנטרופיה. לפי ההגדרה הזאת אין שום סיבה שבגללה עלייה באנרגיה לא תגרום לירידה באנטרופיה, ולהיפך. ובכל זאת, כשמציינים טמפרטורות בקלווין הן כמעט תמיד חיוביות. זה נובע מהעובדה שלטמפרטורה יש משמעות רק במצב שיווי משקל, שתמיד מקיים שני תנאים: אין תנועה מקרוסקופית בתוך המערכת (ויברציות של מולקולות תמיד יהיו, אפילו באפס המוחלט – אז הן נקראות Zero Point Energy ונובעות מעיקרון אי הוודאות שעליו נרחיב בפעם אחרת. מן הסתם, באפס המוחלט הוויברציות הן מינימליות), והאנטרופיה של המערכת נמצאת במקסימום שמאפשרת לה רמת האנרגיה הנוכחית. אם נמיר עכשיו אנרגיה פוטנציאלית פנימית לאנרגיה קינטית, נוריד את האנרגיה במערכת בעודנו מעלים את האנטרופיה, אבל ככה בדיוק יוצאים משיווי משקל – כי אנרגיה קינטית משמעה תנועה מקרוסקופית. המסקנה היא שכל מערכת שמאפשרת המרה של אנרגיה לאנרגיה קינטית תמיד תהיה בטמפרטורה חיובית.
אז כדי להיות בטמפרטורה שלילית, מערכת צריכה לקיים את כל שלושת התנאים הבאים:

1. היא צריכה להיות בשיווי משקל (אחרת אין משמעות למושג "טמפרטורה").
2. צריך להיות איזשהו גבול עליון לרמות האנרגיה במערכת (לאנרגיה קינטית אין גבול עליון).
3. היא צריכה להיות מבודדת מכל מערכת שלא מקיימת את שני התנאים הקודמים.

עכשיו די ברור למה כל כך קשה למצוא טמפרטורות שליליות בחיי היום-יום.
ומה גילו פרסל ופאונד?
רמות האנרגיה של צביר גרעינים עם מספר אי-זוגי של חלקיקים הן אכן מוגבלות: אם כל הגרעינים מסונכרנים עם השדה, האנרגיה היא מינימלית, והאנטרופיה היא אפס – כי יש בדיוק מצב אחד כזה. אם כל הגרעינים מסונכרנים נגד השדה, האנרגיה היא מקסימלית, והאנטרופיה היא שוב אפס, כי גם מצב כזה יש רק אחד. בכל מצב שבו חלק מהגרעינים הם עם השדה וחלק נגדו, האנטרופיה תהיה גדולה מאפס. המשמעות היא שאי שם לאורך הדרך בין אנרגיה מקסימלית לאנרגיה מינימלית האנטרופיה תגיע למקסימום, ועד לאותה נקודה העלייה באנטרופיה תהיה תוצאה של *ירידה* באנרגיה – ותתבטא בטמפרטורה שלילית. בנקודה בה האנטרופיה היא מקסימלית, הטמפרטורה תהיה אינסופית (בגלל ההגדרות של נגזרת במקסימום), מה שאומר שני דברים: הראשון, שהמעבר מטמפרטורות חיוביות לשליליות לא מתבצע דרך אפס קלווין (החוק השלישי, להזכירכם, אומר שאי אפשר להגיע לאפס קלווין), אלא דרך האינסוף; והשני, הפחות אינטואיטיבי, שטמפרטורות שליליות הן לא "יותר קרות" מהחיוביות, אלא "יותר חמות" – מעבר אנרגיה יתבצע מהטמפרטורות השליליות לחיוביות, ולא להיפך, כי בטמפרטורות השליליות יש למערכת יותר אנרגיה.
אם כבר מדברים על מעברי אנרגיה, נצילות של מנוע חום תלויה בהפרש הטמפרטורות שלו (ראו פוסט שני בסדרה). מה שאומר שאם לאחד הצדדים יש טמפרטורה שלילית, אנחנו יכולים לבנות מנוע עם נצילות גדולה מ-1. הידד! ניצחנו את החוק השני של התרמודינמיקה!
לא. לא באמת. אם זאת התוצאה שהגענו אליה, משהו בדרך כנראה לא היה בסדר. יורן דנקל, פרופסור משנה בפקולטה למתמטיקה במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, בחן מחדש את הנתונים של עמיתו לאוניברסיטה קטלר, והגיע למסקנה שהמשוואה שמאפשרת לתאר טמפרטורות שליליות (משוואת בולצמן) מתבססת על הנחות שמאבדות מתקפותן כשלאנרגיה במערכת יש גבול עליון. בדרך כלל זה לא משנה – כאמור, מערכות כאלה הן נדירות, אבל במערכות האלה צריך להשתמש במשוואה אחרת לחישוב טמפרטורה: זו של וילארד גיבס, מתחילת המאה ה-20. כשמשתמשים במשוואה הזאת הטמפרטורה יוצאת חיובית, וכל חוקי התרמודינמיקה נשמרים. חזל"ש.
וכך, מה שהתחיל כפוסט על תופעה חדשנית, מעניינת, והדגמה של עד כמה הפיסיקה יכולה להיות מנוגדת לאינטואיציות, הפך בסופו של דבר לפוסט על חשיבותה של ביקורת עמיתים (כן, הביקורת לא נפסקת אחרי שהמאמר פורסם. לפעמים היא רק מתחילה אז), ועל כך שכל טענה חדשנית וגרנדיוזית כדאי לקחת בערבון מוגבל, במיוחד אם היא סותרת כמה חוקי יסוד. בדרך למדנו כמה דברים על הקשר בין אנרגיה ואנטרופיה, על מצבי קצה, ועל חשיבותן של הנחות יסוד שלעיתים נלקחות כמובנות מאליהן ונשכחות. מקווים שנהניתם.

<< לפוסט הקודם בסדרה

מקורות והרחבה:

• E.M. Purcell, R.V. Pound, "A Nuclear Spin System at Negative Temperature", Phys. Rev.81,279 (1951)
• M.J. Klein,"Negative Absolute Temperature," Phys. Rev. 104, 589 (1956).
• גז קוונטי בטמפרטורה מתחת לאפס המוחלט
• It’s a negative on negative absolute temperatures

עריכה לשונית – שלומי ג'מו