מתמטיקה בקטנה: יש גם מתמטיקה שימושית במשנה
 
בתקופת החגים, גם חילונים רבים מוצאים את דרכם לבית הכנסת. תקופה זו היא הזדמנות טובה להיזכר בכך שהמשנה דנה לפעמים גם בבעיות מתמטיות, ויש בה דוגמאות מעניינות.

מדמה אני את עצמי פוסע לבית הכנסת, ונתקל בטלית המונחת על הקרקע. אני מרים את הטלית, אולם באותו רגע, גם חברי תופס אותה ומתחיל למשוך אותה מידי. מה נעשה?
 
לעזרתנו מגיע זקן חביב, האוחז בידו ספר משנה. מסתבר שהמשנה דנה במקרה דומה [1]  כמשל לחלוקת רכוש. במקרה שבו כל אחד מאתנו יטען שהטלית כולה שלו, הפתרון ההגיוני יהיה לחצות אותה לשניים (מסימטריה של הפתרון). אולם, מה אם החבר ראה אותה לפני וטוען שכולה שלו, ואילו אנוכי הצנוע טוען שאך מחציתה שלי. מה עלינו לעשות במקרה זה?
ובכן, לפי המשנה, במקרה כזה יקבל החבר  ¾ ואני ¼. מדוע?
 
לפי הפרשנות של פרופסור ישראל אומן, חתן פרס נובל לכלכלה, פתרון זה מביא לכך שמידת האכזבה של שנינו תהיה זהה: כל אחד מאתנו מקבל רבע טלית פחות ממה שביקש. מפרשנות זו, ניתן לבנות משוואה מתאימה למקרה כללי יותר [1]. נניח כי  החבר טוען לחלק-B מהטלית, ואני הצנוע טוען לחלק-A. אזי החלק שאקבל יהיה:

(1-(B-A))/2

והחלק שהחבר יקבל יהיה פשוט :

(1+(B-A))/2

 
אפשר להראות שההפסד של כל אחד מאיתנו יהיה זהה במקרה זה. למשל: אם החבר טוען שכולה שלו ואני טוען לרבע טלית , הוא יקבל  7/8 ואני ⅛.
 
דוגמה נוספת, מורכבת יותר,שמופיעה במשנה ונותחה על ידי פרופסור אומן ,דנה בחלוקת רכוש בין מספר נשים. ניתן לקרוא על דוגמה זו בקישור [2].
 
חובבי מתמטיקה שיבחנו את המשוואה למעלה, ישימו לב שהיא למעשה מניחה שצמד החברים רוצים יחד בדיוק את כל הטלית. אולם, נניח שאני וחברי ששנינו חילוניים רוצים ליטול כל אחד, למשל, רק אחוז אחד מהטלית  (כמובן, זה דימוי בהשאלה למידת הדתיות שלנו) ולהשאיר את יתרת הטלית לכל דורש. מסתבר שבמקרה זה המשוואה הנ"ל תתעקש לחלק שווה בשווה טלית שלמה...
חומר למחשבה ומועדים לשמחה!
 
מאת דורון אורנשטיין