בקטנה: אל תתנו לדיווחים התקשורתיים להטעות אתכם - לא "נפתרה" שום תעלומה בת 3,700 שנים, בסך הכל התווסף הסבר חדש, לא לגמרי מקורי, להסברים הקיימים. אבל זו הזדמנות נהדרת להכיר את אחת מהתעלומות המעניינות בתולדות ההיסטוריה של המתמטיקה.
מאת גדי אלכסנדרוביץ׳.
בתקופה האחרונה הופיעו כותרות רבות בעיתונים שונים, העוסקות בלוח חרס בן כ-3,700 שנים בשם "פלימפטון 322". הלוח, שמקורו בעיר הבבלית הקדומה לרסה, התגלה בתחילת המאה ה-20 על ידי הארכאולוג אדגר בנקס (אחד ממקורות ההשראה לאינדיאנה ג'ונס), שמכר אותו למו"ל אמריקאי בשם פלימפטון. פלימפטון הוריש את הלוח למוזיאון יחד עם שאר האוסף שלו, ומכאן השם של הלוח - פריט מס' 322 באוסף של פלימפטון. כל זה כנראה לא היה מעניין במיוחד, אלמלא היסטוריון של המתמטיקה בשם אוטו נויגבאואר, שחקר בשנת 1945 את הלוח והגיע למסקנה שהתוכן שלו יוצא מן הכלל ומעיד על רמה מתמטית גבוהה יותר ממה שחשבו שהבבלים הגיעו אליה. מה נכלל בלוח שגרם לו לחשוב כך?
תוכן הלוח צנוע למדי: טבלה בת 4 עמודות ו-15 שורות, עם כותרות לעמודות שמשמעותן לא לגמרי ברורה. העמודה הימנית ביותר היא מספור של השורות (1,2,3 וכן הלאה), אבל שתי האמצעיות מעניינות, כי הן כוללות מספרים ששייכים לשלשות פיתגוריות. מהן שלשות פיתגוריות?
שלשה פיתגורית היא שלשת מספרים שלמים שסכום הריבועים של שניים מהם שווה לריבוע של השלישי. למשל 3,4,5 או 5,12,13. במילים אחרות, זו שלשה של מספרים שלמים שיכולים להיות אורך הצלעות של משולש ישר זווית (לפי משפט פיתגורס). בהינתן שני מספרים בשלשה פיתגורית אפשר להסיק בקלות את השלישי, ולכן, כדי לשמור רשימה של שלשות פיתגוריות מספיק לשמור רק שני מספרים בכל שלשה, וזה בדיוק מה שיש בלוח - 15 שלשות פיתגוריות, הרשומות כאורך אחד השוקיים ואורך היתר (בעמודה הרביעית יש את ריבוע היחס בין היתר של המשולש לבין הצלע השלישית, זו שאינה מופיע בטבלה).
מאז שנויגבאואר שם לב לתכונה זו של הלוח, ניסו מתמטיקאים והיסטוריונים להבין מי יצר את הלוח, לאיזו מטרה, ומה הוא מעיד על רמת המתמטיקה של הבבלים. ההסבר המקורי של נויגבאואר גרס שהבבלים הכירו שיטה לייצור סדרתי של שלשות פיתגוריות - שיטה שהמקור ההיסטורי המפורש הראשון שלה הוא הספר "יסודות" של אוקלידס, שנכתב 1,500 שנים מאוחר יותר. אם נויגבאואר צודק, פלימפטון 322 הוא עדות לרמה גבוהה של מתמטיקה בקרב הבבלים. עם זאת, לא ברור אם הוא צודק.
הנה המחשה לבעייתיות בגישה של נויגבאואר: לוח חרס בבלי אחר מתקופה דומה עוסק בפתרון תרגיל מתמטי בשיטה שנקראת השלמה לריבוע. הניסוח האלגברי של שיטה זו מוביל ל"נוסחת השורשים" הידועה לשמצה. הלוח מכיל פתרון מפורט של התרגיל ולכן ניתן להסיק שהבבלים הכירו את שיטת ההשלמה לריבוע, וכנראה גם את "נוסחת השורשים" (למרות שמעולם לא כתבו אותה במפורש, שכן אלגברה היא המצאה מודרנית יחסית). העניין הוא שבפלימפטון 322 אין דבר מזה - אלא רק שורות של מספרים. נויגבאואר עשוי לקחת את הידע המודרני שלו לגבי ייצור שלשות פיתגוריות ולנחש שהוא שימש ליצירת הטבלה, אבל אין לכך ראיה מפורשת בטבלה עצמה.
פרשנות אחרת שהוצעה על ידי מספר חוקרים היא שהלוח משמש כ"אוסף תרגילים" לשיעורי מתמטיקה, בדומה ללוח של לימוד שיטת ההשלמה לריבוע שהוזכר קודם. לפרשנות זו יתרונות רבים על הפרשנות של נויגבאואר: היא מקובעת יותר טוב בממצאים היסטוריים אחרים על הבבלים; היא מאפשרת להראות כיצד המספרים בלוח מתקבלים בתור תוצאות ביניים של פתרון החישוב; היא מאפשרת להראות שהשלשות הפיתגוריות יכלו להיווצר כחלק מהפתרון, גם בלי להכיר את השיטה של אוקלידס; והיא נותנת הסבר מספק למספר טעויות חישוב שמופיעות בלוח, שהגישה של נויגבאואר מתקשה להסביר. "מחיר" פרשנות זו הוא אובדן תחושת הפלא - בפרשנות הזו הלוח לא מעיד על מתמטיקה יוצאת דופן של הבבלים ביחס למה שהכרנו (למען הסר ספק, הממצאים שיש לנו כבר מעידים על רמה מתמטית גבוהה יחסית).
העיתונים סוערים כעת, כאמור, סביב פרשנות חדשה, שלישית, הטוענת שהלוח נועד לשמש כטבלה טריגונומטרית. כלומר, מאפשר לחשב יחסים בין צלעות במשולש ישר זווית בהינתן יחס בין זוג אחד של צלעות במשולש. המאמר מתואר בעיתונות בתור פתרון תעלומה ש"עד כה לא הצליחו מדענים לפענח", אבל בפועל הפרשנות הזו  מבוססת על פרשנויות קודמות ומרחיבה אותן במעט.
עוד טענות שהתגלגלו לעיתונות וצריך להיות ספקניים לגביהן: הטענה שהלוח יכל לשמש את הבבלים לבניית מקדשים וארמונות ושאר דברים. זה אולי נכון, אבל אין שום ראיה היסטורית לכך, ולכן, להבדיל מהפרשנות הקודמת, הטענה הזו היא בגדר ספקולציה. כך גם הטענה שהלוח מציג טריגונומטריה "עדיפה" על זו הקיימת, למשל בשל השימוש בבסיס 60 של הבבלים, המאפשר לתת טבלה "מדויקת" יותר. לא ניכנס כאן לדיון הטכני, אבל נציין שככל הנראה אין סכנה שנשנה את שיטת לימוד הטריגונומטריה בבית הספר בשל כך, ועיקר התחרות הוא מול טבלאות טריגונומטריות עתיקות, שלא ברור עד כמה ניסו להיות מדויקות ברמה הזו.
כמי שמתעניין בסיפור של פלימפטון 322 כבר שנים רבות אני שמח לראות שהוא מגיע לכותרות. רק חבל שזה בא על חשבון המדענים הרבים, שבמשך עשרות שנים חקרו את הלוח והגיעו לשלל תגליות ופרשנויות מעניינות, לטובת קידום פרשנות שאולי מצטלמת טוב בעיתונים אבל ברמת הממצאים אין לה עדיפות על האחרות.
 
גדי אלכסנדרוביץ' הוא בעל תואר שלישי במדעי המחשב מהטכניון.
מקורות:
[1] פוסט מפורט בבלוג "לא מדויק" של גדי אלכסנדרוביץ׳.
[2] החלק מספרו של נויגבאואר שבו מוזכר פלימפטון 322 לראשונה.
[3] מאמר של ההיסטוריונית אלינור רובסון, שמציג את הפרשנות השנייה שתוארה בפוסט.
[4] המאמר החדש על פלימפטון 323.
[5] מאמר ב-Ynet על הפרשנות החדשה.
[6] מאמר ב-nrg על הפרשנות החדשה.