הבעיה האיזופרימטרית שואלת שאלה מאוד פשוטה: איך ניתן לצייר קו סגור באורך נתון כך שהשטח התחום בתוכו יהיה גדול ככל האפשר? או בניסוח אחר: אם אני נותן לכם גומיה, איך תניחו אותה על שולחן כך שהשטח של השולחן שנמצא בתוך הגומיה יהיה גדול ככל האפשר?

כתב: שי (דשא) ויבורסקי

השאלה הזו היא אחת השאלות הישנות ביותר הידועות למתמטיקה, ויש עדויות המראות שהיא העסיקה אנשים פחות או יותר מכל תרבות בכמה אלפי השנים האחרונות. כל מי שעסק בשאלה הגיע למסקנה שהפתרון "המובן מאליו" הוא מעגל, ובכל זאת - ההוכחה חמקה מכולם.

למרות ניסוחה הפשוט וגילה המופלג של הבעיה, הוכחה לעובדה שהמעגל הוא אכן הפתרון הנכון הופיעה רק בשנת 1902. המתמטיקאי הגרמני אדולף הורביץ (Hurwitz) פרסם הוכחה קצרה באופן מפתיע המתבססת על משפטים כבדים יחסית מחשבון דיפרנציאלי [1]. חלפו עוד קרוב לארבעים שנה עד שהופיעה, בשנת 1938, הוכחה של מתמטיקאי בשם א. שמידט (Schmidt) המתבססת על כלים גאומטריים [2].

את הבעיה האיזופרימטרית אפשר לנסח במימדים גבוהים יותר. אפשר לקחת את כל הצורות במרחב שיש להן שטח פנים קבוע מראש, ולשאול למי מהן יש את הנפח הגדול ביותר. מסתבר שהפתרון לגרסה התלת-מימדית הוא, באופן לא מפתיע, קליפה כדורית. [3]

לתוצאה הזאת יש קשר הדוק לפיסיקה והיא מסבירה מגוון תופעות טבע, למשל את העובדה שבועות סבון הן כדוריות [4]. מולקולות הסבון מושכות אחת את השניה בכוח רב - עד כדי כך שמולקולות אוויר לא מסוגלות לעבור ביניהן. לולא זה היה נכון אז בועות סבון לא היו אפשריות בכלל, שכן ברגע שהיינו משחררים את הסבון הוא פשוט היה מתפוגג לאוויר. מכאן אפשר להסיק שהבועה תמיד נשארת באותו הנפח, שכן אם הנפח שלה היה משתנה זה היה גורם ללחץ אוויר שונה מחוץ לבועה ובתוכה, והאלסטיות של הבועה (כמעט) לא מאפשרת את זה. למשל, אם האוויר בפנים יותר דחוס מאשר האוויר בחוץ, הוא ידחוף את הבועה כלפי חוץ יותר חזק מאשר שהאוויר בחוץ דוחף אותה כלפי פנים, מה שיגרום לבועה להתנפח עד שלחץ האוויר בפנים ובחוץ יגיע לאיזון.

מצד שני, היות והמולקולות מושכות זו את זו ושואפות להתקרב אחת לשניה, הבועה שואפת להגיע לצורה שבה כל מולקולה קרובה עד כמה שאפשר לחברותיה, כלומר, לצורה בעלת שטח הפנים הקטן ביותר, מבלי לשנות את הנפח שלה.

לכן, כשאנחנו שואלים את עצמנו מה אמורה להיות הצורה של בועת סבון, אנחנו בעצם שואלים לאיזו צורה מבין כל הצורות בעלות אותו הנפח יש את שטח הפנים הכי קטן. באופן זהה לחלוטין ניתן לשאול לאיזו צורה מבין כל הצורות בעלות אותו שטח פנים יש את הנפח הכי גדול, ועל השאלה הזאת בדיוק אי-השיוויון האיזופרימטרי עונה לנו - קליפות כדוריות [5]!