פאי צץ במקומות רבים ושונים במתמטיקה, והנה אחד מהמשעשעים שבהם: השלכת סיכה על דף שורות. קחו דף שורות וסיכה שהאורך שלה קטן מרוחב שורה. זרקו את הסיכה באקראי על הדף - מה ההסתברות שהסיכה תיפול על הקו שמפריד שתי שורות? הנוסחה הפשוטה כוללת את π, מתברר: היא שווה ליחס בין אורך הסיכה ורוחב השורה, כפול 2, כל זה חלקי π (בנוסחה: 2l/d*π, כאשר l הוא אורך הסיכה ו-d רוחב השורה). התוצאה הזו נקראת "המחט של בופון" על שם המתמטיקאי שתיאר את הבעיה לראשונה.

מאת גדי אלכסנדרוביץ'

"המחט של בופון" היא לא רק נוסחה נחמדה בפני עצמה, היא הזמנה למשחק: אפשר לנסות לחשב קירוב הסתברותי לערך של π באמצעות הנוסחה הזו אם לוקחים דף שורות אמיתי וסיכה אמיתית, זורקים המון פעמים את הסיכה על הדף, סופרים בכמה מקרים הסיכה נפלה על קו מפריד, ומשווים את התוצאה להסתברות התיאורטית. שיטה הסתברותית כזו לחישוב מקורב של ערכים נקראת "שיטת מונטה-קרלו" (יש שיטות מונטה קרלו רבות לחישוב של דברים רבים ושונים).

את התעלול הספציפי של המחט ביצע מתמטיקאי בשם לזאריני בתחילת המאה ה-20. למרבה הפלא, הוא קיבל קירוב פנטסטי של π באמצעות השיטה שלו. אתם אולי מכירים את הקירוב של 3.14 שעל בסיסו נחגג יום π, ואתם אולי מכירים גם את הקירוב של 22/7 שעל פיו נחגג "יום קירוב π". כפי שכבר כתבנו, 22/7 הוא קירוב טוב יותר ל-π מ-3.14. אבל יש קירוב טוב עוד יותר שמשתמש רק במספרים קטנים: 355/113. אף קירוב אחר עם מספרים בני 3 ספרות לא יהיה טוב כל כך, וזה בדיוק הקירוב שהניסוי של לזאריני העלה.

מפתיע, לא? בדיקה זהירה של הניסוי מעלה שלזאריני ככל הנראה רימה והינדס את הניסוי בדיוק כדי שיתקבל הקירוב הטוב הזה. מספר השלכות הסיכה אצל לזאריני היה 3408. למה המספר המוזר? כי מתברר שבדיוק אחת לכל 213 השלכות סיכה יש הסתברות כלשהי לזכות בדיוק בקירוב הנפלא של 355/113, ולזאריני פשוט ביצע שוב ושוב סדרות של 213 השלכות סיכה עד שבפעם ה-16 קיבל את הקירוב הטוב ואז הפסיק את הניסוי מיד.

איך מגיעים לנוסחה המקורית של בופון ומאיפה π צץ שם? הנה אינטואיציה מהירה ללא כניסה לפרטים: אפשר להוכיח שמספר החיתוכים שצפוי להתקבל בהשלכת סיכה כלשהי הוא פרופורציוני לאורך שלה - כלומר, מספר החיתוכים הממוצע הצפוי שווה לאיזה שהוא קבוע c כפול אורך הסיכה. אפשר גם להוכיח שבעצם זו לא צריכה להיות סיכה ואפשר גם לכופף או לעקם אותה כרצוננו. עכשיו, נניח שבמקום לזרוק סיכה היינו זורקים מעגל שהקוטר שלו הוא בדיוק רוחב השורה d. הסימטריה המושלמת של המעגל הייתה מבטיחה שלא משנה היכן הוא נופל, יהיו בו שתי נקודות חיתוך עם השורות: או ששורה אחת תחתוך אותו פעמיים או שהוא ישיק לשתי שורות. ניתן להסיק מכך שבמקרה הזה, אורך המעגל (שהוא π כפול d) כפול קבוע הפרופורציה c צריך לצאת 2 בדיוק, ומכאן מסיקים ש-c שווה ל-2 חלקי אורך המעגל, מה שמניב את הנוסחה המקורית ומסביר מאיפה π צץ.

---

לינק מקור מעמוד הפייסבוק