מי מאיתנו לא הטיל סביבון על הקרקע תוך כדי סיבוב צירו, וגרם לו להסתובב מבלי ליפול (לפחות ברגעי הסיבוב הראשונים). וודאי שמתם לב לכך שבפעמים בהם מטילים את הסביבון נטוי ומסובב, יחוג ציר הסביבון באיטיות סביב ציר אנכי לקרקע, תוך כדי הסיבוב העצמי שלו! ואפילו יותר מיוחד, לעתים קורה שהסביבון מתחיל לבצע תנודות אנכיות תוך כדי סיבובו! מה עומד מאחורי התופעות המעניינות הללו? והאם קיים קשר בין הסביבון הנחמד לבין תנועתם של כוכבי לכת? הצטרפו אלינו ותגלו.

רקע היסטורי

שמו של הסביבון נגזר מהשורש "סבב" (שכן פשוטו כמשמעו, אנו מסובבים את הסביבון). באנגלית, המילה המתארת סביבון הינה Spinning Top בעוד שכדי לציין את הסביבון הקשור לחג החנוכה, משתמשים במילה Dreidel שמקורה בשפת היידיש (המשמעות המקורית הינה "לסובב"). מבחינת הדת היהודית והמסורת, נהוג לקשור את הסביבון לתקופת אנטיוכוס הרביעי מלך יוון, שבה היהודים למדו תורה בסתר, וכשעמדו להתגלות, היו מוציאים את הסביבונים ומעמידים פנים שרק שיחקו בהם. ובימי הביניים השתמשו בסביבון ככלי למשחקי מזל.

קצת על תנע הזוויתי

לאחר הסקירה ההיסטורית הקצרה, הגיע הזמן לצלול אל תוך הפיזיקה שמאחורי הסביבון, אשר מבוססת על התנע הזוויתי. מהו תנע זוויתי? או יותר נכון, מהו תנע?

ובכן, תנע (או מומנטום – Momentum) מוגדר [1] [2] כתכונה של גוף נע, הנובעת ממסתו ומהירותו. באופן מדויק, התנע של גוף בעל מסה m ובעל מהירות תנועה v מוגדר כמכפלה של שני גורמים אלו: p=mv. באופן כללי, מהירות התנועה v היא ווקטור, כלומר ניתנת לייצוג על ידי חץ אשר אורכו מביע את גודל המהירות (speed) וכיוונו מעיד על כיוון התנועה. מכפלת ווקטור המהירות במסה מניבה ווקטור חדש p, אשר גודלו שווה למכפלה של גודל המהירות במסה וכיוונו זהה לכיוון התנועה.

מהגדרת התנע עולה כי גוף בעל מסה גדולה אך מהירות מתונה (למשל משאית) יכול להיות בעל תנע גבוה כמו גוף בעל מהירות גדולה אך מסה מתונה (למשל קליע). ניתן לחשוב על התנע כעל מדד לעוצמת התנועה של גופים.

אז רגע, איך בדיוק ההגדרה הזאת חלה על גופים מסתובבים? עד כאן דיברנו למעשה רק על התנע הקווי (Linear Momentum). התנע הקווי משמש אותנו לתיאור התנועה של גופים נקודתיים, כלומר גופים אשר תנועתם יכולה להיות מתוארת על ידי התקדמותה של נקודה אחת במרחב, נקודה אשר בדרך כלל נלקחת להיות מרכז המסה של הגוף. גופים רבים בטבע מבצעים תנועה מורכבת בהרבה מזו של נקודה אחת בודדת ולכן לא ניתנים לתיאור באמצעות התנע הקווי בלבד והדוגמא הפשוטה ביותר לכך היא תנועת סיבוב. על מנת לתאר תנועות מורכבות כאלו, מגדירים את התנע הזוויתי [3] (Angular Momentum בלעז). עבור גוף נקודתי, ההגדרה המדויקת של התנע הזוויתי במכניקה קלאסית היא המכפלה הווקטורית של התנע הקווי של הגוף p במרחק הנפרס מנקודת ייחוס מסוימת ועד למיקום הגוף r, כלומר L=r*p.

לפני שנמשיך, נבהיר את המונח מכפלה ווקטורית. באופן כללי, המכפלה הווקטורית של שני ווקטורים שאינם מקבילים אחד לשני מניבה ווקטור אשר גודלו תלוי בגדלי הווקטורים המוכפלים ובזווית הנפרסת ביניהם, בעוד שכיוונו הוא מאונך למישור הנפרס על ידי כיווני הווקטורים המוכפלים. לדוגמא, אם התנע p מכוון כלפי צפון בעוד שהווקטור r מכוון כלפי מזרח, התנע הזוויתי יהיה מכוון כלפי מעלה, כלומר במאונך למישור האופקי של כיווני שושנת הרוחות.

באנלוגיה לתנע הקווי, מביע התנע הזוויתי את עוצמת התנועה הסיבובית של הגוף במערכת כלשהיא. למשל, לילד היושב בקרוסלה מסתובבת יש בכל רגע נתון תנע קווי הקשור במסה (שלו ושל הקרוסלה) ובמהירות המשיקה למעגל התנועה. אולם בעקבות הסיבוב הבלתי פוסק, כיוון המהירות המשיקה (ולכן גם הכיוון של התנע הקווי) משתנה מרגע לרגע. בנוסף לכך, גם החץ r המחבר בין מרכז הסיבוב של הקרוסלה לבין המושב בו נמצא הילד, גם הוא משתנה ללא הרף בעקבות הסיבוב. על כן אנו נזקקים לתנע הזוויתי, אשר כיוונו (תוכלו לבדוק זאת מתוך ההגדרה!) פונה בכל רגע אנכית למישור הסיבוב, אף על פי שכיווני r ו-p משתנים עם הסיבוב.

בהמשך ישיר לאנלוגיה זו, נוכל לחשוב על התנע הזוויתי כתלוי בשני הגורמים הבאים:

1. מהירות זוויתית: מהירות זו מוגדרת [4] כקצב השינוי הזווית שתנועתו של גוף פורסת יחסית לזווית ייחוס הנקבעת באופן שרירותי כזווית האפס. מהירות זוויתית מתאימה לתיאור תנועתם של גופים המסתובבים סביב ציר סיבוב כלשהוא (בדומה להגדרת המהירות הקווית, הקשורה לקצב שינוי המרחק כתלות בזמן עבור תנועה בקו ישר).
2. מומנט אינרציה/התמד: גודל זה מהווה את האנלוג למסה מנוסחת התנע הקווי, אך הוא משקלל בתוכו את ההתפלגות של המסה לפי הריחוק שלה מציר הסיבוב ולכן מתאים לתיאור ההתמדה שיש לגוף בתנועה זוויתית. כמו שבתנועה קווית, המסה מהווה את המידה של גוף להתמיד בתנועתו [5], כלומר להתנגד לתאוצה (הנגרמת על ידי כוחות), כך מומנט ההתמד מביע את יכולתו של הגוף להתנגד לתאוצה זוויתית - קצב שינוי המהירות הזוויתית בזמן [6]. אלא שבעוד שתאוצה קווית נגרמת על ידי כוחות (כמו כוח הכובד, כוחות חשמליים וכו'), התאוצה הזוויתית נגרמת על ידי "כוחות מסובבים", כלומר רק על ידי הכוחות המסוגלים לייצר סיבוב. תנאי הכרחי לכך שכוח יהיה כוח מסובב הוא שכוח כזה יפעל במרחק מסוים מציר הסיבוב ולא במקביל לרדיוס מציר זה. על כן נוח להגדיר את מומנט-הכוח של כוח מסוים כמכפלה הווקטורית של הכוח בזרוע שלו – החץ הנפרס מציר הסיבוב ועד לנקודת פעולה הכוח [7]. נשמע מוכר? לא טעיתם! ווקטור זרוע הכוח הוא בדיוק אותו החץ r המשמש בהגדרה הקלאסית של התנע הזוויתי, L=r*p.

אם כן, בכל פעם בה אנו דנים בתנועה זוויתית, נוכל תמיד לעבור מההגדרה הקלאסית של התנע הזוויתי (במונחי התנע p והזרוע r), להגדרה האפקטיבית (במונחי המהירות הזוויתית ומומנט ההתמד).

כעת, לאחר שבידינו כל ההגדרות הנחוצות, נוכל סוף כל סוף להבין אחת ולתמיד את תנועתו של סביבון!
לצורך כך, בואו נבצע ניסוי פשוט - ניקח את הסביבון הזמין לידינו ונטיל אותו על הרצפה כך שיסתובב, אך נדאג לכך שיסתובב באופן שאינו אנכי ביחס לרצפה [8], ונשאל את עצמנו מהם הכוחות הפועלים על הסביבון? מבחינת מאזן הכוחות יש לנו את כוח הכובד הפועל על מרכז המסה של הסביבון ומנסה להפיל אותו מטה, אך מנגד פועל כוח הלחיצה שבין הסביבון ובין הקרקע בנקודת המגע התחתית. שני כוחות אלו מקזזים אחד את השני, וכתוצאה מכך הסביבון אינו מתרומם או נופל על עוד הוא מסתובב. ולמרות הקיזוז בין הכוחות, כוח הכובד מפעיל מומנט-כוח אשר אינו ניתן לקיזוז על ידי הלחיצה בקצה התחתון של הסביבון. מומנט הכוח הנ"ל הוא בלבד אחראי לכל האפקטים המעניינים עליהם נדון כעת.

תופעת הפרסציה

ברגעים הראשונים של התנועה, הסביבון חג במהירות זוויתית גבוהה סביב ציר הסימטריה שלו ועל כן יש לו תנע זוויתי, לו נקרא בשם "ספין" (Spin). היות וכוח הכובד מפעיל מומנט-כוח בלתי מקוזז, מומנט-כוח זה יגרום לספין לשנות את כיוונו מרגע לרגע, כלומר יגרום לציר הסימטריה של הסביבון לשנות את כיוונו במרחב. והתוצאה – חיגה איטית של הסביבון סביב הציר המאונך לרצפה, על חשבון האטה מתמשכת בספין מהיר שלו. לאלו שעדיין אינם משוכנעים, דוגמא נוספת ומדהימה לא פחות, ניתן למצוא בדמות סרטון של MIT המציג את האפקט בצורה נוספת [9].

תופעת הנוטציה

כעת נדון בתופעה נוספת ומגניבה לא פחות הקשורה לסביבונים. ניקח את הסביבון שלנו, המבצע את החיגה האיטית והיציבה שלו (הפרסציה), תוך שהוא מסתובב במהירות סביב ציר הסימטריה שלו, וניתן מכה קלה בקצהו של הסביבון, המכוונת כלפי מטה. בתחילה נראה שהמכה תגדיל את זווית הסטייה של הסביבון, אולם השינוי בזווית יגדיל גם את המומנט הפועל על הסביבון וכתוצאה מכך ישפיע גם על מהירות הפרסציה שלו. הגדלת מהירות הפרסציה תקטין בתורה את זווית הסטייה, שתקטין את המומנט הפועל וכתוצאה מכך גם את מהירות הפרסציה. סדר הפעולות הללו יחזור על עצמו בצורה מחזורית, כך שנקבל תנועה נוספת של הסביבון סביב זווית הסיבוב הקבועה שלו. לתנועה זו קוראים נוטציה (Nutation), וניתן לראות הדגמה שלה (ושל תנועת הפרסציה) בסרטון המצורף [10].

הקשר לכוכבי הלכת

האם יש קשר בין הסביבון הקטן ובין כדוה"א ושאר כוכבי הלכת?
מסתבר שכוכבי לכת כדוגמת כדוה"א מסתובבים על צירם (ספין), כלומר שהם מהווים מעין סביבונים ענקיים, אולם בשונה מהסביבון שלנו, כוכבי הלכת אינם מונחים על הרצפה ולא פועל עליהם כוח הכובד הקבוע אותו הנחנו עבור הסביבון שלנו. במקום זאת, פועלים עליהם כוחות הכבידה הנובעים מכלל הפלנטות ומהשמש, אשר בצירוף עם העובדה שכדוה"א אינו גוף כדורי לחלוטין, אלא בעל צורה פחוסה במעט, פועלים עליו וגורמים לו לבצע תנועת פרסציה.

תנועת הפרסציה אותה כדוה"א מבצע [11] היא בעלת זמן מחזור של כ-26,000 שנים, כלומר שבטווח הקצר איננה משפיעה על חיינו, אולם בטווח הרחוק, לתנועה זו קיימות השפעות מעניינות, אחת מהן היא העובדה שבעוד אלפי שנים, פולאריס, הידוע בתור כוכב הצפון (שכן הוא יושב כמעט במדויק על ציר הסיבוב הנוכחי של כדוה"א), יצטרך לוותר על התואר שלו לטובת כוכב אחר.

לסיכום, בפוסט זה נגענו בשתי עובדות מרתקות!
1. עצם פשוט לכאורה, כמו הסביבון, טומן בחובו תופעות פיזיקליות עמוקות ומעניינות, ושכפי שנראה בפוסטים הבאים של חג החנוכה, גם בעלות שימושים פרקטיים רבים.
2. מסקלות אנושיות (סביבון) ועד לסקלות חלליות (כוכבי הלכת), חוקי התנועה זהים. מעניין יהיה לגלות כיצד חוקים אלו עשויים להשתנות כאשר עוברים לחקור את הסקלות הקטנות ביותר – מולקולות, אטומים, גרעינים ועוד... אך על כך, אולי, נדון בפעם אחרת.

מקווים שנהניתם, וחג חנוכה שמח!

מקורות:

1. הערך מומנטום במילון ובסטר
2. הערך מומנטום במילון רפרנס
3. הגדרת תנע זוויתי בוויקיפדיה האנגלית
4. מומנט התמד באתר המילון החופשי
5. התמד בוויקיפדיה האנגלית
6. תנע זוויתי באתר אוניברסיטת ג'ורג'יה
7. מומנט כוח בוויקיפדיה האנגלית
8. Precession of Spinning Top
9. MIT Physics Demo -- Bicycle Wheel Gyroscope, YouTube
10. Precession and Nutation, YouTube
11. Precession of the earth, YouTube

הרחבות:

ספר לימוד מעולה בנושא מכניקה אנליטית:
Louis N. Hand & Janet D. Finch – Analytical Mechanics (Cambridge University Press, 1998).

לאלו מכם, הרוצים להבין את המקור לחוק שימור התנע הקווי, התנע הזווית והאנרגיה, קישור לפוסט העוסק בסימטריות בעולם שלנו, ועל הקשר שלהן לחוקי הפיזיקה