מה המשותף לכדור מושלם, קליע במעוף ומשחק קלפים? סימטריה, גבירותיי ורבותיי. סימטריה נמצאת מסביבנו בכל מקום, רק צריך לחפש אותה ולהבין מה ההשלכות שלה. בפוסט הבא אנו הולכים להכיר את העיקרון המנחה מדענים הנמצאים בחזית המחקר התאורטי ונבין כיצד חוקי השימור בפיזיקה נובעים ישירות מתוך הסימטריה.
מאת מאיר זיליג-הס.
בואו נבצע ניסוי קטן - קחו לעצמכם עצם עגול/טבעתי כלשהו – זה יכול להיות כל דבר שתוכלו לסובב, כגון חישוק, צנצנת או פח אשפה קטן כמו אלו של פעם. התבוננו היטב בעצם שבחרתם, סובבו אותו בזווית כלשהי והתבוננו בו כעת שוב. אם מה שאתם רואים לאחר הסיבוב זהה למה שראיתם לפני הסיבוב, הרי שהגוף שבחרתם הוא סימטרי לסיבובים, או במילים אחרות – הוא "אינווריאנטי" (variant = משתנה) לפעולת הסיבוב אותה ביצענו עליו. אם, מסיבה כזו או אחרת, התמונה שאתם רואים לאחר הסיבוב שונה מזו שלפני הסיבוב, הרי שהגוף אינו סימטרי לסיבובים, כלומר הוא אינו אינווריאנטי.
בניסוי, הגוף לא חייב להיות סימטרי באופן מושלם ובכל זאת תהיה לו איזושהי סימטריה. נשמע מוזר? לא ממש - אם למשל לקחתם חישוק, ייתכן שבאזור מסוים בחישוק קיים שקע בפלסטיק ממנו הוא בנוי, או אולי מישהו סימן עליו נקודה מסוימת בטוש. במקרה כזה, סיבוב בזווית שרירותית יניב באופן כללי מצב שאינו זהה למצב המקורי (הנקודה הייחודית תזוז ממקומה המקורי), אלא אם ביצענו סיבוב מלא (של 360 מעלות) או מספר שלם של סיבובים מלאים. במקרה כזה עדיין קיימת לגוף סימטריה לסיבוב, אך הסימטריה הזו היא "חלשה" יותר – החישוק אינווריאנטי תחת פעולות סיבוב בזוויות שהן כפולות שלמות של 360 מעלות.
מה היינו יכולים לומר על החישוק אם היו מסומנות עליו יותר מנקודה אחת? זה תלוי – אם הנקודות מסומנות במרחקי קשת שווים בין אחד לשני, החישוק עדיין ניחן בסימטריה. כך שאם למשל נסמן בטוש שתי נקודות המנוגדות אחת לשנייה, הן תחצנה את החישוק לשתי קשתות שוות והחישוק יהיה סימטרי לסיבובים בזוויות שהן כפולות שלמות של 180 מעלות בלבד! מה שמפתיע הוא שככל שנסמן יותר נקודות כאלו ונחלק את החישוק למקטעים רבים יותר, כך דווקא נגדיל את הסימטריה שלו לסיבובים בזוויות שהן כפולות שלמות של זוויות קטנות יותר ויותר.
מה יקרה אם נמשיך לחלק אותו עד בלי סוף? נקבל חישוק שכל(!) נקודה על היקפו היא מסומנת. חישוק כזה יהיה סימטרי לסיבוב בזוויות שהן כפולות שלמות של זווית השואפת ל...אפס! כלומר, חזרנו לדון בחישוק בעל "סימטריה רציפה" (continuous symmetry) לסיבובים [1] – בכל זווית שרירותית שרק נבחר, לעומת החישוקים בעלי "סימטריה בדידה" (discrete symmetry) לסיבובים [2] – בעלי סימטריה המתקיימת רק עבור זוויות מסוימות.
מה אפשר ללמוד מתוך הניסוי הזה או ניסויים דומים המערבים סימטריה?
כאן מגיעה לידי ביטוי הגאונות של אמי נת'ר (Emmy Noether), מתמטיקאית פורצת דרך אשר בחרה להקדיש חלק מזמנה ליישום הרעיונות המתמטיים שלה בפיזיקה [3]. בעודה חוקרת מערכות פיזיקליות, נת'ר הבחינה בחוקיות אשר באופן מדהים חוזרת על עצמה עבור כל המערכות בעלות סימטריה רציפה. מה שהיא גילתה זה שהאנרגיה של כל מערכת בעלת סימטריה כלשהי, לא תשתנה כאשר נבצע על המערכת פעולה המתאימה לסימטריה שלה. יתרה מזאת, לכל סימטריה שיש למערכת מתאים גודל פיזיקלי אשר ערכו נשמר קבוע בזמן, כל עוד הסימטריה המדוברת ממשיכה להתקיים.
הקשר המתמטי הזה בין סימטריה לחוק שימור, נקרא משפט נת'ר [4] והוא משמש כיום כנר לרגלי הפיזיקאים החוקרים מערכות בגדלים הקטנים ביותר – אטומים, גרעינים ואפילו חלקיקים אלמנטאריים, ועד לגדלים העצומים ביותר שיש – כוכבים, גלקסיות ואפילו היקום כמכלול. כל מה שאנו נדרשים לעשות על מנת לחקור מערכת כזו או אחרת זה לנסות לכתוב ביטוי לאנרגיה הכוללת שיש לה ברגע כלשהו, כתלות במשתנים הדינמיים של המערכת: קואורדינאטות מיקום, משתני מהירות וכד'. פונקציית אנרגיה זו נקראת "המילטוניאן" [5], על שם המתמטיקאי המילטון אשר חקר דינמיקה של מערכות.
אז עד עכשיו זו הייתה הקדמה היסטורית – מעכשיו - מלא מלא מלא פיזיקה!
ההמילטוניאן בדרך כלל ניתן לכתיבה כסכום של כמה גורמים:

1. אנרגיה קינטית: האנרגיה הקשורה בתנועה של המערכת. אנרגיה זו בדרך כלל תלויה במשתני המהירות ולא בקואורדינאטות המיקום (אם כי קיימים לא מעט מקרים יוצאי דופן). הדוגמא הפשוטה ביותר היא של חלקיק בודד בעל מסה מסוימת ובעל מהירות כלשהי אשר נע בכיוון מוגדר במרחב. בתנאי שהמהירות החלקיק נמוכה משמעותית יחסית למהירות האור, החלקיק ניחן באנרגיה קינטית השווה למחצית המכפלה של המסה שלו עם ריבוע המהירות שלו :

E=m*v^2/2 [6].

2. אנרגיה פוטנציאלית: כאשר חלקיק מסוים מתקרב לחלקיק אחר, הראשון מפעיל על השני כוח, בעוד שגם השני מפעיל על הראשון כוח. החוק השלישי של ניוטון קובע שהכוחות הללו שווים בגודלם, אך מנוגדים בכיוונם. במילים אחרות, קיימת אינטראקציה הדדית בין החלקיקים. את האינטראקציה הזו ניתן להגדיר כאנרגיה פוטנציאלית, היות ויש בה את הפוטנציאל לשנות את תנועתם של החלקיקים, יחסית לתנועה שהייתה להם טרם פגישתם. באופן כללי יותר, כאשר מערכת מורכבת ממספר גדול של חלקיקים, בין כל זוג חלקיקים קיימת אינטראקציה, כך שהאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת הינה סכום של האנרגיות הפוטנציאליות של הזוגות [7].
3. אנרגיות שאינן מכניות: הסכום של האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית מניב גודל חשוב הנקרא אנרגיה מכנית. השם "מכנית" מטעה מעט, היות שגם למערכות חשמליות, מגנטיות וגרעיניות ניתן להגדיר סכום כזה, אלא ששם נרצה להבחין בין הסיבות השונות לכל סוג של אנרגיה, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית תתחלק בין גורמים מכניים, חשמליים, מגנטיים וגרעיניים. כך או כך, האנרגיה הכוללת של מערכת (קינטית + פוטנציאלית) היא הגודל המרכזי במשפט נת'ר.
כעת יש לנו את הכלים הנחוצים לדיון יותר מדוייק במשפט נת'ר ולהפעיל אותו על מערכות מציאותיות. נחזור לחישוק האהוב שלנו, שכעת נאפשר לו להתגלגל (רק להתגלגל, מבלי להחליק) על מישור אופקי, כמו רצפת פרקט או מדרכה ברחוב (אך ממש לא על הכביש - זה מסוכן מדי!).
התבוננו בחישוק הזה תוך כדי תנועתו. מה שכנראה תראו זה שהחישוק מתרחק מכם במהירות קבועה ותוך כדי כך, מתגלגל במהירות זוויתית (קצב הסיבוב ליחידת זמן) קבועה. אם כן, ישנם שני גדלים הנשמרים קבוע בזמן, למרות התנועה הבלתי פוסקת של החישוק – אלו הם: התנועה הקווית והתנועה הזוויתית.
סימטריה להזזות וחוק שימור התנע הקווי [8]
בהכללה מדוגמת החישוק, לכל מערכת בעלת סימטריה להזזה, קיים גודל פיזיקלי שמור הנקרא "תנע קווי" (linear momentum). בדרך כלל ניתן לכתוב את הביטוי לתנע הקווי כמכפלה של מסה במהירות של תנועה קווית (בניגוד לתנועה זוויתית). בדוגמת החישוק, המסה הכוללת של החישוק היא קבועה (לא מוסיפים או גורעים מהחישוק חומר) ולכן הקביעות בזמן של מהירות ההתקדמות האופקית היא ביטוי חד-חד-ערכי לשימור התנע הקווי של החישוק. איך זה קשור לסימטריה? חוק זה נובע ישירות מן העובדה שהתנועה שתהיה לחישוק ברגע אחד תהיה זהה (אותה מהירות) לתנועה שתהיה לו בכל רגע אחר. כלומר, סימטריה להזזה מרחבית גוררת את חוק שימור התנע הקווי.
סימטריה לסיבובים וחוק שימור התנע הזוויתי [9]
בהכללה מדוגמת החישוק, לכל מערכת אשר לה סימטריה לסיבוב, קיים גודל פיזיקלי שמור הנקרא "תנע זוויתי" (angular momentum). בדרך כלל ניתן לכתוב את הביטוי לתנע הזוויתי כמכפלה של מומנט סיבוב (גודל התלוי במסה ובמרחק הגוף מציר הסיבוב) במהירות הזוויתית של הסיבוב [10]. בדוגמא של החישוק, המסה והרדיוס של החישוק הם קבועים (החישוק שומר על אותה התפלגות חומר סביב המרכז) ולכן הקביעות בזמן של מהירות הסיבוב היא ביטוי חד-חד-ערכי לשימור התנע הזוויתי של החישוק. איך זה קשור לסימטריה? חוק זה נובע ישירות מן העובדה שהתנועה הסיבובית שתהיה לחישוק ברגע אחד תהיה זהה (אותה מהירות) לתנועה הסיבובית שתהיה לו בכל רגע אחר. אם כן, סימטריה לסיבובים גוררת את חוק שימור התנע הזוויתי.
סימטריה להסטה בזמן וחוק שימור האנרגיה [11]
בדוגמת החישוק שמנו לב לשני גדלים מדידים הנשמרים בזמן – התנע הקווי והתנע הזוויתי של החישוק. מעבר לתנעים, למערכת זו (ולאחרות) קיים גודל שמור נוסף הנקרא... ניחשתם נכון - "אנרגיה". במובן מסוים, חוק שימור האנרגיה אינו שונה מחוק שימור התנעים הקווי והזוויתי. כמו אלו שהוזכרו, גם חוק שימור האנרגיה נובע מהסימטריה שיש למערכת תחת פעולה ספציפית – הזזה בזמן. אם נבחן את האנרגיה הכוללת של החישוק ברגע אחד ונמדוד אותה ברגע אחר, נגלה כי האנרגיה הכוללת מקבלת אותו ערך. וזה הגיוני לגמרי אם נחשוב על העניין:
1. מהירות ההתקדמות האופקית של החישוק קבועה בזמן (חוק שימור התנע הקווי) לכן כך תהיה גם האנרגיה הקינטית של התנועה הממוצעת שלו.
2. מהירות הסיבוב של החישוק קבועה בזמן (חוק שימור התנע הזוויתי) לכן כך תהיה גם האנרגיה הקינטית של התנועה הסיבובית שלו.
3. החישוק נמצא בגובה קבוע על פני כדור הארץ, היות והוא נע על מישור אופקי, לכן האנרגיה הפוטנציאלית שלו תהיה קבועה גם כן.
4. אם החישוק מתגלגל ללא החלקה (מה שהנחנו בתחילת הדיון על תנועתו), הרי שאין בריחה של אנרגיה מן החישוק אל סביבתו (למשל, אל הקרקע המחוספסת).
מסקנה: האנרגיה הכוללת של החישוק נשמרת, היות וכל מרכיביה נשמרים בנפרד.
אך מצב כזה ממש לא חייב להתקיים במקרה כללי יותר. האנרגיה הקינטית יכולה לקטון (או לגדול), האנרגיה הפוטנציאלית לגדול (או לקטון) ועדיין הסכום שלהם יישמר קבוע, אם אין מעבר אנרגיה מן המערכת לסביבה. במילים אחרות, איברי האנרגיה 1, 2 ו-3 יכולים להשתנות, אך הסכום שלהם ישמר קבוע, אם ורק אם אין זרימה של אנרגיה בין המערכת לסביבה, מה שמתבטא בסימטריה להסטה של המערכת שלנו בזמן.
מעבר לסימטריות הרציפות עליהן דברנו כאן, קיימות סימטריות בדידות אשר להן השלכות מרחיקות לכת בחקר מבנה החומר – האטומים והמולקולות המרכיבות את כל החומר סביבנו [12]. מעבר לכך, קיימות סימטריות רציפות מסוגים נוספים כמו למשל "סימטריות כיול" (gauge symmetries), אך על אלו נדבר כבר בפעם אחרת.
סימטריה נמצאת בכל מקום סביבנו, אנו צריכים רק לצאת לחפש אחריה ולהבין מה ההשלכות שלה, על הפיזיקה, על היקום, ובעצם - על החיים של כל אחת ואחד מאתנו.
*****
סרטון איכותי להסבר משפט נת'ר:
https://www.youtube.com/watch?v=CxlHLqJ9I0A
קריאת הרחבה על סימטריה בפיזיקה:
Group Theory and its Applications to Physical Problems – M. Hamermesh (1962).