קפיצה מחשבתית מיחסות פרטית ליחסות כללית - מדע גדול, בקטנה : מדע גדול, בקטנה

קפיצה מחשבתית מיחסות פרטית ליחסות כללית

04/11/2015

מאת: מדע גדול, בקטנה

היום, לפני 100 שנים בדיוק, ב-4.11.1915, אלברט איינשטיין הציג לראשונה את תאוריית היחסות הכללית ושינה את ההבנה שלנו על הפיזיקה! מדע גדול, בקטנה לוקח אתכם לקפיצה המחשבתית אל תאוריית היחסות הכללית!
עד עכשיו, דנו בהרחבה בתאוריית היחסות הפרטית, שמעניקה לנו תיאור מדויק עבור התנועה של גופים, קטנים כגדולים, אשר נעים במהירות שהיא קבועה בגודלה ובכיוונה. במילים אחרות, בהיעדר כוחות (כמו אינטראקציות משיכה כבידתיות בין זוגות של גופים), תנועת כל הגוף תהיה בקו ישר ללא כל הפרעה. אך מה יקרה כאשר מתחילים לפעול כוחות? האם יסטו הגופים היחסותיים ממסלולם הישר באופן המתבקש מן המכניקה הניוטונית? וכיצד יגיב האור למשיכה הכבידתית? על כל זה ועוד, בפוסט שלפניכם!
מאת מאיר זליג-הס
בסיועם של ד"ר בועז קרני-הראל ופרופ' עדי ארמוני

כוח, במובן הבסיסי ביותר במכניקה הקלאסית של ניוטון, הוא גורם הפועל על גוף, כתוצאה מאינטראקציה כלשהי שלו עם גוף אחר. כוח הפועל על גוף מקנה לו תאוצה, כלומר גורם לשינוי בגודל ו/או בכיוון של מהירותו [1]. הדוגמה הבסיסית ביותר לפעולתו של כוח על גופים היא של כוח הכבידה. סלעים מתגלגלים במורד מדרון, לבה וולקנית גולשת במורד הר געש ואנשים נופלים מטה לאחר קפיצה, מהסיבה הפשוטה שכדור הארץ מושך אותם. לכל הגופים שהוזכרו ולרבים אחרים יש מסה ולכן כוח הכבידה פועל עליהם [2].
פיזיקאים אוהבים לנסות לכמת את העניינים
בסמוך לפני השטח של כדור הארץ, כוח הכבידה שלו מקנה לגופים תאוצה קבועה, שאינה תלויה במסתם. תאוצה זו מכוונת תמיד אל מרכז כדור הארץ, והיא מסומנת באות האנגלית g. גודלו של g הוא בערך 9.81 מטרים לשנייה בריבוע – לצורך הדיון שלנו ניקח ערך זה להיות 10 מטרים לשנייה בריבוע. המשמעות של גודל זה היא שאם גוף כלשהו ישוחרר מגובה, הרי שבכל רגע נתון הוא יאיץ בקצב קבוע של 10 מטרים לשנייה בכל שנייה, כלומר יגדיל את מהירותו מטה בשיעור של 10 מטרים לשנייה, בכל שנייה. אם הכדור משוחרר ממצב מנוחה (אפס מהירות התחלתית), הרי שכעבור שנייה אחת בלבד מהירותו כלפי מטה תהיה 10 מטרים לשנייה, אחרי שנייה נוספת תהיה מהירותו 20 מטרים לשנייה, עוד שנייה תחלוף ומהירותו תהיה כבר 30 מטרים לשנייה, וכך הלאה.
מה שחשוב שתשימו לב אליו, זו העובדה שהגוף מגדיל את מהירותו בשיעור הקבוע של 10 מטרים לשנייה בכל שנייה, ללא כל תלות במסה שלו ולמעשה, תאוצה זו תפעל על כל גוף, ללא כל קשר למהות הגוף – גודלו, צורתו וכדומה.
במצב כללי יותר, פועלים על כל גוף כוחות רבים, מלבד כוח הכבידה השווה בגודלו למכפלת מסת הגוף ב-g. כוחות אלו עשויים להיות תלויים במשתנים שונים, כמו מיקום הגוף יחסית לנקודה כלשהי ו/או מהירותו יחסית לנקודה זו. הנקודה הקבועה הזו, שיחסית אליה נמדדת התנועה, מגדירה ראשית של מערכת צירים בה מתוארת התנועה. כלומר, בכל פעם שבה אנו בכלל באים לתאר תנועה כלשהי, כדאי מאוד שנדאג לקבוע מערכת ייחוס בעלת נקודת ראשית.
מסתבר שלא כל בחירה של נקודה שרירותית במרחב תוכל לספק לנו "מערכת ייחוס" טובה לתיאור התנועה של גופים יחסית אליה. התנאי ההכרחי שנקודת הראשית צריכה לקיים הוא שנקודה זו (ולכן כל מערכת הצירים הנבנית עליה) תהיה קבועה במקומה או לכל הפחות תנוע במרחב במהירות קבועה כלשהי. אם תנאי זה מתקיים, אנו קוראים למערכת הייחוס "אינרציאלית", היות והיא מתמידה במצב התנועה שלה (במהירות קבועה או אפסית). אחרת, יש בידינו מערכת ייחוס "לא אינרציאלית" [3].
במערכת ייחוס אינרציאלית, השינויים בתנועה של גופים מוכתבת על-ידי הכוחות הפועלים עליהם ותלויה במסתם. אם על גוף בעל מסה m פועל כוח F (קיצור של המילה Force), הגוף ירכוש תאוצה a (קיצור של המילה acceleration) שגודלה מקיים את חוק התאוצה של ניוטון:
(1) F = ma
במילים אחרות, התאוצה שגוף ירכוש תגדל ככל שנגדיל את הכוח ו/או ככל שנקטין את מסת הגוף. מכאן נובע כי המסה היא המידה בה הגוף נוטה להתמיד במצבו, כלומר לשמור על המהירות שלו לאורך זמן. בהקשר הזה, של חוקי ניוטון, המסה m נקראת "מסה אינרציאלית".
מדוע אנו נמנעים מבחירת מערכת ייחוס לא-אינרציאלית? מה כבר יכול להשתבש בתנועה שם?
אם במקום לבחור ראשית צירים אינרציאלית, נעדיף לבחור ראשית צירים הנמצאת בעצמה בתאוצה, אותה נסמן באות A, הרי שלא נוכל כבר לכתוב את חוק ניוטון תוך התייחסות ל-a כאל התאוצה שתוענק לגוף בעת פעולת כוח F. נצטרך להחליף במשוואה את a בתאוצה הכוללת a+A (תאוצת הגוף ועוד תאוצת המערכת הלא-אינרציאלית) ולקבל משוואת תנועה:
(2) (F=m(a+A
ננסה לסדר מחדש משוואה זו, על מנת לבודד את התאוצה a הקשורה בגוף בלבד. העברת אגפים פשוטה תניב:
(3) F-mA=ma
במילים אחרות, השינויים בתנועת הגוף, המחושבים על פי התאוצה a, יכולים במשוואה הלא-אינרציאלית לנבוע משני סוגים של כוחות: כוחות ממשיים כמו F וכוחות מדומים –mA הנובעים נטו מתוך העובדה שאנו נמצאים עמוק בתוך מערכת שהיא בעצמה מואצת. אם אנו מתעקשים לתאר את תנועת הגוף יחסית למערכת צירים לא-אינרציאלית, אנו נאלצים "לשלם מחיר" של התחשבות לא רק בכוחות הממשיים, אלא גם בכוחות המדומים [4].
עיקרון השקילות [5]:
על מנת להמחיש את העקרונות שהוצגו למעלה, נבצע ניסוי דמיוני – בניסוי נבחן מעלית אשר יכולה לנוע למעלה ולמטה כשאדם נמצא בתוכה.
ראשית, נבחן מה קורה כאשר המעלית עולה או יורדת במהירות קבועה. לפי התנאי לאינרציאליות, המעלית יכולה לשמש כמערכת ייחוס "כשרה", בה נוכל לתאר את הדינמיקה המתרחשת בתוכה על-ידי משוואת התנועה של ניוטון (משוואה 1). בפרט, אם נבחן את האדם הנמצא בתוך המעלית, נגלה שכוח הכובד הפועל על האדם כלפי מטה, מאוזן על-ידי כוח הלחיצה הפועל במגע בין רגלי האדם למעלית – האדם נמצא בשיווי משקל ובמצב זה לא יוכל להבחין בכלל כי הוא נמצא בתנועה מתמדת.
אך מה יקרה אם נגרום למעלית להאיץ כלפי מעלה? המעלית כבר לא תהיה מערכת אינרציאלית ולכן תאוצתה תתבטא עבור האדם הנמצא בתוכה ככוח מדומה אשר יפעל כלפי מטה, בהתאם למשוואה 3 (שימו לב לסימן המינוס של הכוח, המאשש את העובדה שהוא פועל בניגוד לכיוון תאוצת המעלית). ככל שנגביר את תאוצת המעלית, נגרום לאדם "להידבק" חזק יותר לרצפת המעלית ובפועל – להרגיש כאילו פועל עליו כוח כבידה אפקטיבי חזק יותר.
מנגד, אם נאפשר למעלית להאיץ דווקא כלפי מטה, למשל על ידי חיתוך הכבל של המעלית (אל תנסו את זה בבית), נגלה בדיוק את ההפך. המעלית תתחיל ליפול באופן חופשי מטה, המגע שבין האדם למעלית יינתק והאדם יתחיל לרחף באוויר תוך כדי נפילתו יחד עם המעלית. ניתן לפרש זאת בשני אופנים: מנקודת המבט של צופה חיצוני למעלית, האדם והמעלית שניהם נופלים חופשית בתאוצה השווה לתאוצת הכובד g. לעומת זאת, מנקודת מבטו של האדם המרחף, לפתע מופעל עליו כוח מדומה כלפי מעלה, המקזז לחלוטין את כוח הלחיצה שפעל קודם לכן בין רגליו לבין רצפת המעלית וכתוצאה מכך, הכוח השקול הפועל עליו הוא כוח הכובד mg.
מצאנו את עיקרון השקילות! כבידה הפועלת בין גופים (בדוגמה שלנו, בין כדור הארץ לבין המעלית והאדם), שקולה לחלוטין לתאוצה. השקילות בין כבידה לבין תאוצה, היא אחד מהעקרונות הבסיסיים של ההרחבה של תיאוריית היחסות הפרטית שניסח איינשטיין בשנת 1905 [6].
ואחרי כל ההקדמה הזו, סוף סוף היא הגיעה! תיאוריית היחסות הכללית!
הרעיון המהפכני של איינשטיין מסתכם בטענה קצרה, אך מורכבת במיוחד להבנה בהיכרות ראשונית – ההימצאות של חומר ו/או אנרגיה (אנו כבר יודעים מתיאוריית היחסות הפרטית שלכל מסה ניתן לייחס אנרגיה), גורמת למרחב ואפילו לזמן (!) להתעקם.
העקמומיות הנוצרת במרחב ובזמן תגרום לגופים אחרים הנמצאים בקרבת מקום לעוות את מסלולם מתנועה בקווים ישרים לתנועה בקווים עקומים, הנקראים "גיאודזים" (Geodesics). הגיאודזים יעקבו, בכל נקודה ונקודה, אחרי עקמומיות המרחב-זמן וכתוצאה מכך, החלקיקים ייאלצו לנוע כאילו פועל עליהם כוח. אך אין מדובר בכוח, במובן הפשוט שהוצג בחוקי ניוטון, כי אם בהכללה למושג הכוח – כבידה המתבטאת באמצעות עקמומיות המרחב-זמן [7].
ההמחשה הפשוטה ביותר לרעיון ה(כמעט) מטורף הזה מתקבלת כאשר בוחנים את האינטראקציה בין כוכב, כמו השמש, לבין פלנטה קטנה, כמו כדור הארץ. אם נתעלם לרגע מכל שאר הפלנטות, הירחים, השביטים והאסטרואידים הקיימים במערכת השמש, נשאר עם מערכת יחסית פשוטה של שמש מאסיבית בנקודה פחות או יותר קבועה וכדור הארץ הסובב סביבה. במונחי הכלים החדשים שרכשנו, נוכל לתאר את תנועת כדור הארץ סביב השמש, לא במונחי כוח כבידה פשוט, אלא תוך שימוש במושגים הגיאומטריים של עקמומיות. השמש הינה מאסיבית דיה על מנת לעקם את המרחב סביבה, בטווח של כל מערכת השמש, באופן קבוע בזמן. אם נחשוב על כדור הארץ כעל חלקיק קטן הנכנס לטווח ההשפעה של השמש, הרי שעד מהרה כדור הארץ ייאלץ להיכנס לתוך מסלול גיאודזי המקיף את השמש ובסופו של דבר – להסתובב סביבה כאילו פעל עליו כוח כבידה כלפי פנים [8].
גם כדור הארץ, בהיותו גוף בעל מסה, מייצר סביבו שדה כבידה המתבטא בעיקום קל של המרחב העוטף אותו. אך היות והמסה של כדור הארץ כה קטנה יחסית לשמש (יחס של 1:500,000 בערך), הרי שהעקמומיות סביב כדור הארץ תהיה זניחה יחסית לעקמומיות שתיווצר סביב השמש. תוצאה ישירה של היררכיה זו היא שעיקר התנועה במערכת הדו-גופית של השמש וכדור הארץ, היא של כדור הארץ הקל ולא של השמש.
ביצה ותרנגולת יחסותיים (ואל תגידו לביולוגים של הדף שהשתמשתי במונח הזה)
לאט, לאט אנו מתחילים להתרגל לרעיון המשונה לפיו כבידה אינה בהכרח כוח הפועל בין גופים, אלא שדה של עקמומיות במרחב ובזמן, המיוצר על-ידי צפיפות של מסה, התלוי בהתפלגות של אותה מסה או אנרגיה במרחב-זמן (מכאן והלאה, נקרא ל"מרחב-זמן" פשוט "מרחב", למען הנוחות). שאלה לגיטימית שיכולה (וצריכה!) לעלות במחשבתנו היא – האם העקמומיות שכבר נוצרה במרחב מסוגלת להכניס לגיאודזים את המסות השונות אשר ייצרו אותה מלכתחילה. אם כך הדבר, הרי שהתפלגות המסה החדשה עשויה, כמו קודם, לעקם את המרחב, אך הפעם באופן שונה לעומת העקמומיות הקודמת. העקמומיות החדשה תגרום לתנועה חדשה של המסות וחוזר חלילה. ללא ספק, יש לנו בעיית ביצה ותרנגולת – מה קדם למה?
התפלגות המסה או העקמומיות?
באופן כללי, אין פתרונות פשוטים לבעיות שכאלו בתיאוריית היחסות הכללית, אך בכל זאת נתיימר לדון בהמשך (שבוע היחסות עוד צעיר) ביישום של בעיה כזו על לא פחות מאשר היקום כולו כמקשה אחת! בינתיים, לצורך דיון זה, נתמקד במקרים הפשוטים ביותר – בעיות דו-גופיות בהן גוף אחד הוא מאוד מאסיבי ואילו גוף אחר הוא מאוד קל. הגוף המאסיבי ייעקם סביבו את המרחב וייאלץ את הגוף הקל לנוע על גיאודזים העוטפים אותו.
האור מתעקם!
שוב נזכיר (רק כדי שהרעיון ייקלט) שכבידה אינה כוח הפועל על מסה מסוימת, אלא שדה עקמומיות במרחב. אם כך, לא מן הנמנע שכל חלקיק, ללא תלות בגודל המסה שלו, ייקלע לשדה הכבידה של גוף שמימי מאסיבי כגון: כוכב, גלקסיה או צביר-גלקסיות. בפרט, חלקיקי האור, הפוטונים, יכולים אף הם לעקם את מסלולם הישר, תוך שהם עוקבים אחרי גיאודז כזה או אחר במרחב.
ההתעקמות של אלומות אור בחלל היא תופעה מרהיבה ביופייה, אך גם שימושית במיוחד, שכן על פי בחינת שיעור ההתעקמות של האור ממסלולו הישר, ניתן ללמוד על כמות המסה אשר ייצרה את העיקום. שיטה זו להערכת מסות ביקום על פי מדידת התעקמות האור, נקראת "עידוש כבידתי" [9], שכן הכבידה החזקה מעקמת את קרני האור כמו עדשה אופטית (עוד מידע על תופעה זו, במשך השבוע היחסותי).
איינשטיין נגד ניוטון – ראש בראש במבחן המציאות
תורת היחסות עדיין בשלבי פיתוח ובכל זאת, איישנטיין החליט לערוך בה חישוב מעשי – הוא בחר לחשב את זווית הסטיה שתהיה לאור המגיע מכוכבים המצויים מאחורי השמש. הניסיון הראשון שלו לחשב ערך זה הניב זווית בגודל 0.87 שניות-קשת. ערך זה אינו שונה ממה שהיינו מצפים מן המכניקה של ניוטון כאשר מופעלת על המערכת הנתונה ולכן תוצאה זו של איינשטיין לא עוררה גלים כלל בקהילה המדעית ובוודאי שלא בציבור הרחב.
ארבע שנים מאוחר יותר, בשנת 1915, הצליח איינשטיין לפתח את התיאוריה שלו לכדי תוצר מוגמר ובאותה שנה התרחש טוויסט בעלילה – איינשטיין גילה טעות בחישובו משנת 1911. כאשר איינשטיין תיקן אותה, הוא מצא כי זווית הסטיה הנחזית מן היחסות הכללית היא 1.74 שניות-קשת, פי 2 מן הערך הניוטוני אותו קיבל קודם! [9]
מדע חוצה גבולות [10]
על מנת לשים את תיאוריית היחסות הכללית של איינשטיין במבחן, יצא משלחת של אסטרונומים אנגלים למדוד את הסטיה ולהשוותה מול הערכים החזויים בתיאוריות של איינשטיין ושל ניוטון. בראש המשלחת עמד ארתור סטנלי אדינגטון, פרופסור צעיר שכיהן אז כראש מצפה הכוכבים של קיימברידג'. אדינגטון היה באנגליה כשאיינשטיין הציג את תיאוריית היחסות הכללית בפני האקדמיה המדעית הפרוסית ב-1915. מאחר שבריטניה וגרמניה היו באותה עת במצב מלחמה, לא התקיים ביניהן קשר ישיר להעברת נתונים מדעיים. למזלו של אדינגטון, היו לו קשרי ידידות עם אסטרונום בשם וילם דה-סיטר, שמאוחר יותר יהפוך לאחד מאבות הקוסמולוגיה המודרנית, ושבאותה עת שהה בהולנד הניטרלית. דה-סיטר קיבל העתקים ממאמריו של איינשטיין והעבירם ללא דיחוי לאדינגטון ב-1916.
אדינגטון התרשם עמוקות מהיופי שבעבודת איינשטיין ומיד החל לקדמה. בדו"ח לחברה האסטרונומית המלכותית, בתחילת 1917, הוא הדגיש במיוחד את החשיבות של העמדת התיאוריה למבחן באמצעות מדידות של עיקום האור.
איזו מהתיאוריות צודקת ואיזו מהן תינטש – האם זו המהפכנית של איינשטיין או זו המוצקה של ניוטון?
אסור לנו להפריד את הסיפור הזה מההקשר ההיסטורי שלו – מדובר במדען גרמני, שעומד לשנות את העולם המדעי שהתבסס על ממצאיו של מדען אנגלי, בזמן מלחמת עולם בין שתיהן! כמה כיף בטח היה לו לגייס תקציבי מחקר.
ליקוי החמה שהפך את איינשטיין לכוכב [10]
ישנה בעיה מיידית בביצוע התצפית האסטרונומית, בעיה שכל אסטרונום נאלץ להתמודד עמה בכל פעם שמנתח עידוש כבידתי – בשעות היום, השמש נמצאת על קו הראייה שבין הכוכבים שמאחוריה לביננו ולכן אור הכוכבים כלל לא ייראה אל מול השמש הבהירה. בשעות הלילה לעומת זאת, השמש אינה מאירה והכוכבים נראים בבירור, אך השמש כבר לא מקיימת את העידוש הכבידתי לכיוון כדור הארץ, שכן כדור הארץ נמצא "באותו צד" עם הכוכבים אותם אנו מנסים לנתח. את הבעיה הזו שוברים על-ידי טריק אסטרונומי בסיסי – ליקוי חמה!
שבועות אחדים לאחר הדו"ח של אדינגטון, הגיע האסטרונום המלכותי, סר פרנק ווטסון דייסון למסקנה שיש לבצע את המדידות בעת ליקוי חמה. בעת שדיסקת השמש תהיה מכוסה על-ידי פני הירח, אור הכוכבים ייראה בבירור וניתן יהיה לגלות ביתר קלות את הסטיה שתהיה לאור הכוכבים הללו בעקבות השמש, מבלי שאור השמש הישיר ישבש את המדידה. מעבר לכך, הציע דייסון כי הליקוי של ה-29 במאי 1919 יתאים במיוחד למשימה זו.
ב-16 בנובמבר 1919, נערך כנס משותף מיוחד של החברה האסטרונומית המלכותית ושל החברה המלכותית הלונדונית. דייסון הציג את התוצאות העיקריות. המדידות הניבו ערכי זווית סטיה של 1.98 ו-1.61 שניות-קשת, עם שגיאות מדידה של 0.16 ו-0.40 שניות-קשת, בהתאמה. שתי התוצאות נמצאו בטווח שתי טעויות-תקן של הערך 1.74 שקבע איינשטיין, ומרחקן מן הערך הניוטוני של 0.87 היה גדול יותר משתי טעויות-תקן.
איינשטיין זכה בתהילה ציבורית בינלאומית, ואנחנו – בתיאוריה היפה והמדויקת ביותר לתיאור תופעת הגרביטציה – תורת היחסות הכללית!